دانشنامه اینترنتی علوم DEO

نظریه حلقه ها

از deo ، دانشنامه اینترنتی علوم

حلقه (ریاضی)

حلقه گروهی آبلی جمعی بانضمام نیمگروهی ضربی است که ضرب نسبت به جمع توزیع‌پذیر باشد.

اگر نیمگروه ضربی مونوئید باشد حلقه را یکدار گوییم. در یک حلقه یکدار یک عضو از حلقه را که وارون ضربی داشته باشد را یکه یا وارون پذیر می نامند. وارون هر عضو یکه، یکتاست.

اگر نیم گروه ضربی جابجایی باشد حلقه را جابجایی گوییم.

بعنوان مثال مجموعه اعداد صحیح یک حلقه جابجایی و یکدار است.

حلقه جابجایی

در ریاضیات و جبر مجرد، حلقه‌ای را که در آن عمل ضرب خاصیت جابجایی داشته باشد، حلقه جابجایی می‌گویند.

(ویرایش) توسط deo

منبع:ویکی پدیا

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 18:10 توسط deo |

فهرست انتگرال توابع گویا

در ادامه فهرستی از انتگرال (پادمشتق) تابع‌های گویا آمده است؛ برای آگاهی از فهرستی کامل تر، صفحهٔ فهرست انتگرال‌ها را نگاه کنید.

$\int (ax + b)^n \, dx= \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \qquad\text{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\!$ (Cavalieri's quadrature formula)

$\int\frac{c}{ax + b} \, dx= \frac{c}{a}\ln\left|ax + b\right| + C$

$\int x(ax + b)^n \, dx= \frac{a(n + 1)x - b}{a^2(n + 1)(n + 2)} (ax + b)^{n+1} + C \qquad\text{(for }n \not\in \{-1, -2\}\mbox{)}$

$\int\frac{x}{ax + b} \, dx= \frac{x}{a} - \frac{b}{a^2}\ln\left|ax + b\right| + C$

$\int\frac{x}{(ax + b)^2} \, dx= \frac{b}{a^2(ax + b)} + \frac{1}{a^2}\ln\left|ax + b\right| + C$

$\int\frac{x}{(ax + b)^n} \, dx= \frac{a(1 - n)x - b}{a^2(n - 1)(n - 2)(ax + b)^{n-1}} + C \qquad\text{(for } n\not\in \{1, 2\}\mbox{)}$

$\int\frac{f'(x)}{f(x)} \, dx= \ln\left|f(x)\right| + C$

$\int\frac{x^2}{ax + b} \, dx= \frac{b^2\ln(\left|ax + b\right|)}{a^3}+\frac{ax^2 - 2bx}{2a^2} + C$

$\int\frac{x^2}{(ax + b)^2} \, dx= \frac{1}{a^3}\left(ax - 2b\ln\left|ax + b\right| - \frac{b^2}{ax + b}\right) + C$

$\int\frac{x^2}{(ax + b)^3} \, dx= \frac{1}{a^3}\left(\ln\left|ax + b\right| + \frac{2b}{ax + b} - \frac{b^2}{2(ax + b)^2}\right) + C$

$\int\frac{x^2}{(ax + b)^n} \, dx= \frac{1}{a^3}\left(-\frac{(ax + b)^{3-n}}{(n-3)} + \frac{2b (ax + b)^{2-n}}{(n-2)} - \frac{b^2 (ax + b)^{1-n}}{(n - 1)}\right) + C \qquad\text{(for } n\not\in \{1, 2, 3\}\mbox{)}$

$\int\frac{1}{x(ax + b)} \, dx = -\frac{1}{b}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right| + C$

$\int\frac{1}{x^2(ax+b)} \, dx = -\frac{1}{bx} + \frac{a}{b^2}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right| + C$

$\int\frac{1}{x^2(ax+b)^2} \, dx = -a\left(\frac{1}{b^2(ax+b)} + \frac{1}{ab^2x} - \frac{2}{b^3}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|\right) + C$

$\int\frac{1}{x^2+a^2} \, dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\,\! + C$

$\int\frac{1}{x^2-a^2} \, dx = \begin{cases} \displaystyle -\frac{1}{a}\,\mathrm{arctanh}\frac{x}{a} = \frac{1}{2a}\ln\frac{a-x}{a+x} + C & \text{(for }|x| <|a|\mbox{)} \\[12pt] \displaystyle -\frac{1}{a}\,\mathrm{arccoth}\frac{x}{a} = \frac{1}{2a}\ln\frac{x-a}{x+a} + C & \text{(for }|x|> |a| \mbox{)} \end{cases}$

For $a\neq 0:$

$\int\frac{1}{ax^2+bx+c} dx = \begin{cases} \displaystyle \frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} + C & \text{(for }4ac-b^2>0\mbox{)} \\[12pt] \displaystyle -\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\,\mathrm{arctanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} + C = \frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln\left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right| + C & \text{(for }4ac-b^2<0\mbox{)} \\[12pt] \displaystyle -\frac{2}{2ax+b} + C & \text{(for }4ac-b^2=0\mbox{)} \end{cases}$

$\int\frac{x}{ax^2+bx+c} \, dx = \frac{1}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{b}{2a}\int\frac{dx}{ax^2+bx+c} + C$

$\int\frac{mx+n}{ax^2+bx+c} \, dx = \begin{cases} \displaystyle \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|+\frac{2an-bm}{a\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} + C &\text{(for }4ac-b^2>0\mbox{)} \\[12pt] \displaystyle \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{2an-bm}{a\sqrt{b^2-4ac}}\,\mathrm{arctanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} + C &\text{(for }4ac-b^2<0\mbox{)} \\[12pt] \displaystyle \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{2an-bm}{a(2ax+b)} + C &\text{(for }4ac-b^2=0\mbox{)}\end{cases}$

$\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^n} \, dx= \frac{2ax+b}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^2)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}} \, dx + C$

$\int\frac{x}{(ax^2+bx+c)^n} \, dx= -\frac{bx+2c}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}-\frac{b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^2)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}} \, dx + C$

$\int\frac{1}{x(ax^2+bx+c)} \, dx= \frac{1}{2c}\ln\left|\frac{x^2}{ax^2+bx+c}\right|-\frac{b}{2c}\int\frac{1}{ax^2+bx+c} \, dx + C$

$\int \frac{dx}{x^{2^n} + 1} = \sum_{k=1}^{2^{n-1}} \left \{ \frac{1}{2^{n-1}} \left [ \sin \left(\frac{(2k -1) \pi}{2^n}\right) \arctan\left[\left(x - \cos \left(\frac{(2k -1) \pi}{2^n} \right) \right ) \csc \left(\frac{(2k -1) \pi}{2^n} \right) \right] \right] - \frac{1}{2^n} \left [ \cos \left(\frac{(2k -1) \pi}{2^n} \right) \ln \left | x^2 - 2 x \cos \left(\frac{(2k -1) \pi}{2^n} \right) + 1 \right | \right ] \right \} + C$

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 18:5 توسط deo |

انتگرال

اَنتِگرال (integral) مقدار مشترک ممکن زیرینۀ مجموعه‌ای ریمانی و زبرینۀ مجموعه‌ای ریمانی یک تابع حقیقی در بازۀ مفروض است.^[۱] انتگرال از مفاهیم اساسی در ریاضیات است که در کنار مشتق دو عملگر اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال را تشکیل می‌دهند.

نخستین بار لایب نیتس نماد استانداردی برای انتگرال معرفی کرد.

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$

aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و $f(x)$ تابعی انتگرال‌پذیر است و $dx$ نمادی برای متغیر انتگرال‌گیری است.

از لحاظ تاریخی $dx$ یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می‌دهد. هر چند در تئوری‌های جدید، انتگرال‌گیری بر پایه متفاوتی پایه گذاری شده است.

انتگرال نامعین

تعریف:

هرگاه معادله دیفرانسیلی تابعی معلوم باشد و بخواهیم معادله اصلی تابع را معلوم کنیم این عمل را انتگرال نامعین نامیده و آن را با نماد $\int$ نمایش می‌دهند. به انتگرال نامعین ضد مشتق نیز گفته می‌شود, زیرا عمل انتگرال نامعین گرفتن دقیقا برعکس عملیات مشتق‌گیری است.

بنا به تعریف نماد $\int{f(x)}.dx$ را انتگرال نامعین نامیده وحاصل آن را تابعی مانند $F(x)+c$ در نظر می‌گیریم هرگاه داشته باشیم:

$\int{f(x)}.dx=F(x)+c$

در واقع می‌توان چنین بیان کرد:

$F'(x) = f(x) \Leftrightarrow \; \int{f(x)}.dx = F(x)+c$

مثال: مقدار انتگرال تابع $f(x)=\sqrt{x} + 2x^2 - 8$ را حساب کنید:

$\int{f(x)}.dx=\int{( x^{ \frac{1}{2}}+2x^2-8)}.dx = \int{ x^{\frac{1}{2}}}.dx + 2 \int{x^2}.dx - 8 \int{dx} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+ \frac{2}{3}x^3-8x+C$

$\Rightarrow \int{f(x)}.dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+ \frac{2}{3}x^3-8x+C$

انتگرال معین

بنا به تعریف، نماد $\int_a^b f(x).dx$ را انتگرال معین نامیده و حاصل آن را به ازای $a<x<b$ عددی به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$\int_a^b f(x).dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$

$a$ و $b$ به ترتیب، کرانهای بالا و پایین انتگرال نامیده می‌شوند.

تابع انتگرال‌پذیر

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال‌پذیر گویند.

تعبیر هندسی انتگرال

از نظر هندسی انتگرال برابر است با مساحت سطح محصور زیر نمودار.

نکته انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال دو گانه)معرف حجم محصور زیر نمودار است و انتگرال سه‌گانه معرف پارالل زیر نمودار است(غیرقابل تصور).

مثال

انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (0,10) در واقع پیدا کردن مساحت محصور بین خطوط x=0 , x=10 و خم منحنی $f_x$ است. aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

نمایش گرافیکی انتگرال.

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

انتگرال گیری

(محاسبه انتگرال) انتگرال گیری به معنی محاسبه سطح زیر نمودار با استفاده از روشها وقوانین انتگرال گیری است. انتگرال را میتوان عمل برعکس مشتق معرفی نمود

مهم‌ترین تعاریف در انتگرال

از مهم‌ترین تعاریف در انتگرال می‌توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبگ است. انتگرال ریمان به‌وسیله برنهارد ریمان در سال ۱۸۵۴ ارائه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می‌داد تعریف دیگر را هنری لبگ ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می‌کرد. از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال می‌توان به انتگرال ریمان–استیلتیس اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زیر از مهم‌ترین تعاریف انتگرال می‌باشند:

محاسبه انتگرال

اکثر روش‌های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:

1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می‌گیریم. 2.پاد مشتق f را پیدا می‌کنیم که تابعی است مانند f که و داریم: 3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می‌گیریم:

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارت‌اند از :

انتگرال گیری به‌وسیله تغییر متغیر
انتگرال گیری جزء به جزء : $\int u\, dv=uv - \int v\, du$
انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
انتگرال گیری به‌وسیله تجزیه کسرها

روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می‌رود همچنین می‌توان بعضی از انتگرال‌ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.

تقریب انتگرالهای معین

محاسبه سطح زیر نمودار به‌وسیله مستطیل هایی زیر نمودار. هر چه قدرعرض مستطیل‌ها کوچک می‌شوندمقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش‌های انتگرال گیری عددی، تخمین زده شوند.یکی از عمومی‌ترین روش‌ها، روش مستطیلی نامیده می‌شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه‌ای است. اگر چه روش‌های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی‌دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می‌کند.

کاربرد

انتگرال‌ها در واقع مساحت محصور در زیر نمودار هستند و در فیزیک می‌توان برای کاربردهای زیادی تعریف کرد مانند کار انجام شده در یک فر آیند ترمودینامیکی از انتگرال رابطه فشار و حجم به دست می‌آید. اما به طور کلی می‌توان آن را تغییرات کمیت حاصل ضرب افقی و عممودی نمودار نامیدمثلا: در یک رابطه کمیت‌ها را تحلیل ابعادی می کنیم مثلا رابطه سرعت و زمان را به صورت زیر نوشته می‌شود:

$v=[L]/[T] t=[T] \!$

سپس دو تحلیل را در هم ضرب می کنیم:

$[L] \!$

پس مساحت محصور در زیر نمودار برابر با تغییرات طول (جابجایی) است.

(ویرایش) توسط deo

منبع : ویکی پدیا

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 18:2 توسط deo |

فضای n بعدی

در دانش ریاضیات، یک فضای n بعدی یک فضای توپولوژیک است که ابعادش n تا می‌باشد(عدد طبیعی=n). بهترین مثال که مربوط یا شبیه طرح اصلی می‌باشد، یک فضای اقلیدسی n بعدی (Eⁿ) است که هندسه اقلیدسی را در n بعد توصیف می‌کند. گاهی اوقات به فضای n بعدی با اندازه n مقادیر بزرگ مثلاً ۲۰ رافضای با ابعاد پرشمار نیز می‌گویند. اشکال هندسی را نیز می‌توان با هر ارزش عددی n تعمیم داد. به عنوان مثال مثلث دو بعدی و چهاروجهی سه بعدی را می‌توان به عنوان نمونه بارز سیمپلکس n بعدی تصور کرد. (سیمپلکس در تعریف هندسی یک مفهوم تعمیم داده شده به یک مثلث یا چهاروجهی است که تعداد ابعاد آن اختیاری فرض می‌گردد، یک n-سیمپلکس که یک چند گوشه n بعدی است پوش محدبش n + ۱ رأس دارد). همچنین دایره و کره را می‌توان به عنوان نمونه بارز فرا-کره n بعدی تصور کرد. یک مفهوم عمومی تر می‌گوید، یک خمینه n بعدی، فضایی است که به صورت مکانی شبیه فضای اقلیدسی n بعدی است با این تفاوت که ساختار کروی آن ممکن است نا اقلیدسی باشد. باشد. فضای n بعدی بیضوی (Sⁿ) و هذلولوی (Hⁿ) به ترتیب با مقادیر ثابت خمیدگی مثبت و منفی مورد بررسی و مطالعه قرار می‌گیرند.

(ویرایش) توسط deo

منبع:ویکی پدیا

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 16:0 توسط deo |

عملوند

در ریاضیات و برنامه‌نویسی رایانه، یک عملوند هدف یک عملیات ریاضی است. هر عبارت که بین دو عملگر قرار بگیرد و یا بعد از یک عملگر بیاید یک عملوند محسوب می گردد.

مثال

در محاسبه زیر میتوانیم عملگرها و عملوندها را مشاهده کنیم:

$3 + 6 = 9\;$

در مثال فوق، علامت «+» که یک عملگر است برای عملیات جمع بکار برده شده است.

عملوند «۳» یک ورودی کمیتی است که در پی آن عملگر جمع آمده است، و عملوند «۶» یک ورودی لازم دیگر برای این عملیات حساب است.

نتیجه عملیات «۹» میباشد. عدد ۹ مجموع جمع ۳ و ۶ خوانده میشود.

بنابراین یک عملوند میتواند یک ورودی کمیتی برای یک عملیات ریاضی نیز خوانده شود.^[۱]

نگارش

برای مثال به عبارت پیچیده ی زیر نگاه کنید:

$3X^3 + 4X^2 - X = 7Y\;$

در عبارت بالا هیچ عدد معلومی قرار ندارد اما عملوند وجود دارد. حال یک سوال در عبارت بالا چند عملوند وجود دارد؟

همانگونه که در تعریف آمده است عملوند بعد از یک عملگر می آید و یا بین دو عملگر قرار دارد.

اول عبارت ریاضی بالا را به فرم استاندارد برنامه‌نویسی می‌نویسیم تا ببینیم تعداد آنها چند عدد است.(در زیر برای نشان دادن عملگر توان از علامت ^ استفاده شده است. و برای راحتی کار عملگرها را با رنگ آبی و عملوندها را با رنگ قهوه‌ای نشان خواهیم داد.)

${\color{Blue}+}{\color{Brown}3}{\color{Blue}*}{\color{Brown}X}{\color{Blue}\land}{\color{Brown}3}{\color{Blue}+}{\color{Brown}4}{\color{Blue}*}{\color{Brown}X}{\color{Blue}\land}{\color{Brown}2}{\color{Blue}-}{\color{Brown}X}{\color{Blue}=}{\color{Brown}7}{\color{Blue}*}{\color{Brown}Y}\;$

تعداد عملوندها ۹ عدد است و به ترتیب شامل ۳و xو ۳و ۴و xو ۲و xو ۷و y هستند که تمام آنها بین دو عملگر قرار دارند به جز یکی که آن هم y است که البته بعد از یک عملگر قرار گرفته است. در عبارت بالا می بینید که عملوند حتماً نباید یک عدد باشد و می تواند یک عبارت مجهول (مثل x، y) نیز باشد.

(ویرایش) توسط deo

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 15:58 توسط deo |

عملگر

در ریاضیات، یک عملگر تابعی است که بر تابعی دیگر اعمال می‌شود. در مواردی ممکن است یک عملگر را یک عمل ریاضی گویند مانند «عمل جمع» که در اصل عملگر جمع می‌باشد.^{[نیازمند منبع]}

در علوم کامپیوتر پس از تعریف متغیرها و مقدار دادن به آنها٫ عملیاتی روی آنها انجام می‌شود. انجام عملیات توسط عملگر صورت می‌گیرد.‌

تقسیم بندی عملگر در زبان برنامه نویسی C به دسته‌های زیر تقسیم می‌شود:

۱)عملگر محاسباتی

۲)عملگر رابطه ای

۳)عملگر منطقی

۴) عملگر بیتی

(ویرایش) توسط deo

منبع:ویکی پدیا

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 15:57 توسط deo |

عدد جبری

اعداد جبری (طبق اصطلاحی که کرونکر ریاضی دان آلمانی بکار برد ^[۱])، اعدادی هستند که جواب معادله‌ای به شکل زیر باشند:

a_nxⁿ + a_n−۱x^n−۱ + ··· + a_۱x + a_۰ = ۰

ضریب‌های a_۰ تا a_n در این معادله چند جمله‌ای اعداد گویا هستند.

اگر a_n = ۱، به ریشه‌های معادلهٔ بالا عدد جبری صحیح گویند.

مثال‌ها

تمامی اعداد گویا جبری هم هستند، چرا که، خارج قسمت دو عدد صحیح $p \!$ و $q \!$ ، یعنی، $\frac{p}{q} \!$ ریشهٔ معادلهٔ $qx - p = 0 \!$ است.

همچنین به راحتی ثابت می‌شود که اعداد جبری شمارش پذیر هستند

(ویرایش) توسط deo

منبع:ویکی پدیا

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 15:55 توسط deo |

دو جمله ای

در جبر مقدماتی، یک Binom یک چندجمله‌ای با دو جمله -مجموع دو تک‌جمله‌ای - است که معمولاً هنگام اعمال شدن، با پرانتز یا براکت بسته می‌شود. پس از تک‌جمله‌ای، دوجمله‌ای ساده‌ترین نوع از چندجمله‌ایهاست.

عملیات‌های دوجمله‌ای‌های ساده

دوجمله‌ای $a^2 - b^2 \!$ را می‌توان به صورت ضرب دو دوجمله‌ای دیگر بصورت روبه‌رو نوشت:

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \!$

(ویرایش) توسطdeo

منبع:ویکی پدیا

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 15:52 توسط deo |

ضرب چند جمله ای

در این مسئله می خواهیم دو چندجمله ای از درجه‌های $m$ و $n$ که به فرم ضابطه ای با ضرایب هر توانی از x آن‌ها مشخص شده اند را در هم ضرب کنیم و ضابطهٔ چندجمله ای حاصل را بدست آوریم. در ابتدا فرض می کنیم که برای نمایش چندجمله ای‌ها در فرم ضابطه ای یک آرایه به طول درجهٔ چندجمله ای به علاوهٔ یک می گیریم و در خانهٔ i ام ضریب $x^i$ را ذحیره می کنیم. نمایش متداول دیگر این است که تنها ضرایب ناصفر را در یک لیست پیوندی نگهداری کنیم.

الگوریتم بدیهی ضرب چندجمله ای

اگر دو چند جمله ای داشته باشیم که هر کدام با ضرایب توان‌های متغیرشان نمایش داده شوند، الگوریتم بسیار ساده ای برای محاسبهٔ حاصا ضرب آن‌ها در زمان $\Theta \left ( m \cdot n \right )$ وجود دارد ( $m$ و $n$ درجه‌های چندجمله ایها هستند). در حقیقت این الگوریتم، همان روشی است که در محاسبات روزانه به کار می بریم وشبه کد آن در زیر آمده است. همان طور که گفته شد برای سادگی فرض می کنیم که هر ضرایب هر چندجمله ای از درجهٔ $k$ در آرایه ای به طول $k+1$ به روش

ذخیره شود.

Multiply(P, n, Q, m)

define R as a polynomial with degree n+m for (i=0 to n) do
for (j=0 to m) do
R[i+j] += P[i]*Q[i]
return R

الگوریتم استراسن ( الگوریتم کاراتسوبا) برای ضرب چندجمله ای ها

با این الگوریتم می توان حاصل ضرب دو چندجمله ای را با سرعت بیش تری نسبت به الگوریتم بدیهی ضرب یافت. ایدهٔ اصلی این الگوریتم این است که از آن جایی که عمل جمع در رایانه‌ها بسیار سریع تر از عمل ضرب انجام پذیر است، می توان در الگوریتم بدیهی ضرب که همان طور که قبلاً بررسی شد در آن به تعداد $\Theta \left ( m \cdot n \right )$ عمل ضرب نیاز است، تعداد اعمال ضرب را کم تر کرد و به ازای آن کمی به تعداد اعمال جمع افزود که روند دقیق کار در ادامه توضیح داده خواهد شد. به این ترتیب می توان زمان اجرای کلی ضرب دو چندجمله ای را بهبود بخشید.
برای سادگی فرض کنید می خواهیم دو چندجمله ای از درجهٔ $n=2^{k+1}-1$ را در هم ضرب کنیم. می نویسیم:

$P\left ( x \right ) = P_1\left ( x \right ) + x^{2^{k}} \cdot P_2\left ( x \right )$

$Q\left ( x \right ) = Q_1\left ( x \right ) + x^{2^{k}} \cdot Q_2\left ( x \right )$

یعنی هر چندجمله ای را دو بخش کردیم. واضح است که برای ضرب داریم:

$P \cdot Q = P_1 \cdot Q_1 + x ^ {2^k} \left ( P_1 \cdot Q_2 + P_2 \cdot Q_1 \right ) + x ^ {2^{k+1}} P_2 \cdot Q_2$

ایدهٔ اصلی این است که اگر تعریف کنیم:

$A = P_1 \cdot Q_1$

$B = P_2 \cdot Q_2$

$C = \left ( P_1 + P_2 \right ) \cdot \left ( Q_1 + Q_2 \right )$

با جایگذاری در معادلهٔ اولیهٔ ضرب خواهیم داشت:

$P \cdot Q = A + x ^ {2^k} \cdot \left ( C - A - B \right ) + x ^ {2 ^ {k + 1}} \cdot B$

پس همان طور که نشان داده شد، می توان با سه عمل ضرب (برای محاسبهٔ A و B و C) با اندازهٔ نصف و سپس محاسبهٔ رابطهٔ بالا جواب مسئله را پیدا کرد. تحلیل زمانی: در این الگوریتم در اصل به جای هر چهار عمل ضرب در الگوریتم بدیهی ضرب، تنها سه تا ضرب انجام می شود. چنین استفادهٔ هوشمندانه ای از تکراری بودن بخشی از محاسبات بسیار شبیه الگوریتم استراسن برای ضرب ماتریس هاست. اثبات می‌شود که این الگوریتم ازΘ(nlg3) است. زیرا اگر زمان اجرای الگوریتم با اندازه ورودی n را T(n) بنامیم، می توان به رابطهٔ بازگشتی زیر رسید:

$T\left ( n \right ) = 3T\left ( \frac{n}{2} \right ) + \Theta \left ( n \right )$

که با یکی از روش‌های حل معادله بازگشتی مانند قضیهٔ اساسی می توان دید که:

$T\left ( n \right ) = \Theta \left ( n \cdot lg \left ( n \right ) \right )$

نکات پیاده سازی

برای زمان هایی که درجهٔ چندجمله ای توانی از دو نباشد می توان دقیقاً همین الگوریتم را با تغییرات جزیی اعمال کرد، به این ترتیب که هر دو چندجمله ای را به دو بخش تقریباً مساوی تقسیم کرد و از روابط آمده در بالا استفاده کرد. و حتی می توان برای دوری از این جزییات آن قدر به سمت چپ چندجمله ای جملات با ضریب صفر افزود تا تعداد جملات توانی از دو شوند. البته این گونه پیاده سازی کمی کند تر از حالت اصلی عمل خواهد کرد زیرا ممکن است این عمل بارها تکرار شود. ضمناً در عمل، یک مقدار آستانه تعیین می‌شود که برای اندازه ورودی‌های کوچک تر از آن، به جای بازگشت از الگوریتم معمولی ضرب استفاده می شود. با تعیین درست مقدار آستانه می توان به سرعت بهتری در اجرای کلی الگوریتم دست یافت.

تعمیم

همان طور که می توان حدس زد، می توان به جای این که چندجمله ای‌ها را در ابتدا به دو بخش تقسیم کرد، آن‌ها را به تعداد بیش تری بخش تقسیم کرد. با این کار هرچند تعداد ضرب‌ها کاهش می یابد ولی تعداد اعمال جمع لازم افزایش می یایند در نتیجه از حدی به بعد دیگر بهبود چندانی حاصل نمی‌شود. در کل استفاده از روش روش‌های دیگر مانند تبدیل‌های فوریه کاراتر و آسان تر از تعمیم این روش می باشد.

ضرب چندجمله ای با استفاده از تبدیل فوریه

تعریف فرم فوریه

برای نمایش تابع راه‌های گوناگونی وجود دارد، به طور مثال می توان یک تابع را با مجموعه اعضا (برای توابع با دامنهٔ محدود)، ضابطهٔ کلی تابع، یک سری مانند بسط تیلور یا بسط فوریه و ... نمایش داد. یک فرم که در انجام محاسبات بسیار کاراست، را در این جا توضیح می دهیم. می دانیم که در صفحه می توان هرچند جمله ای از درجه n را با دقیقاً n+1 نقطه از آن به طور یکتا مشخص کرد. مثلاً هر خط راست را می توان با دو نقطه از آن به طور یکتا مشخص کرد و برعکس. و یا این که هر سه نقطه یک سهمی را به طور یکتا تعیین می کنند. پس یک روش نمایش چندجمله ای‌های درجه n، نگهداری n+1 نقطهٔ آن است. دقت کنید که این نقاط به دلخواه از دامنهٔ تابع انتخاب می شوند. به طور دقیق تر:

$FFT\left ( P_n \right ) = \left \{ \left ( x_i, P_n\left ( x_i \right ) \right ) | x_i \in \mathbb{C} , \forall i\neq j : x_i\neq x_j \right \}$

ویژگی‌های فرم فوریه

نکتهٔ جالب در مورد فرم فوریه برای نمایش چند جمله ای ها، سادگی انجام برخی محاسبات روی آن است. به طور مثال اگر بخواهیم دو چندجمله ای را جمع/ضرب کنیم، کافی است آن دو را با یک سری مقادیر x یکسان به فرم فوریه تبدیل کنیم و سپس مقادیر متناظر هر نقطه از آن دو تابع را با هم جمع/ضرب کنیم. دیده می‌شود که در این فرم اعمالی مانند ضرب و یا تقسیم بسیار آسان تر از صورت ضابطه ای قابل انجام اند. در حقیقت جمع و تفریق و ضرب و تقسیم چندجمله‌های به این فرم با $\Theta \left (n \right )$ امکان پذیر است. در ادامه به بررسی جزییات پیاده سازی ضرب چندجمله ای‌ها می پردازیم.

ضرب چندجمله ای با تبدیل سریع فوریه

می توان دید که اگر دو چندجمله ای داشته باشیم می توان ابتدا آن‌ها را در تعدادی نقطهٔ مشترک مقداریابی کرد و پس از آن فرم فوریهٔ ضرب آن‌ها را از ضرب مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های بدست آمده پیدا کرد. باید توجه کرد که حاصل ضرب، یعنی $P \cdot Q$ دارای درجه ای برابر $m+n$ است پس باید برای نمایش آن به تعداد $m+n+1$ زوج مرتب از آن را داشته باشیم، به همین منظور می توان از ابتدا هر دو چندجمله ای را به فرم فوریهٔ گسترش یافته با $m+n+1$ نقطه تبدیل کرد، و سپس این نقاط را نظیر به نظیر ضرب کرد و حاصل ضرب را در فرم فوریه بدست آورد. برای یافتن جواب کافی است آن را از فرم فوریه به فرم ضابطه ای تبدیل کنیم.

برای این که بتوانیم این فرایند را در زمانی سریع تر زمان الگوریتم بدیهی ضرب انجام دهیم از تبدیل فوریه گسسته استفاده می کنیم. در این الگوریتم با انتخاب ریشه‌های n ام واحد (که مختلط هستند) و محاسبهٔ مقدار چندجمله ای در این نقاط چندجمله ای را به فرم فوریه تبدیل می کنیم. این کار را برای هر دو چندجمله ای عمولوند ضرب انجام می دهیم. می توان طوری الگوریتم را نوشت که این کار را به سرعت بتوان انجام داد. س÷س دو چندجمله ای را که اکنون در فرم فوریه هستند به راحتی در هم ضرب می کنیم و در ÷ایان دوباره حاصل ضرب را از فرم فوریه به فرم ضابطه ای متداول تبدیل می کنیم.

برای توضیحات دقیق تر و نحوهٔ انجام هر یک از مرحله‌های گفته شده به تبدیل فوریه گسسته رجوع کنید.

ضرب چندجمله ای‌های تنک

تعریف و نمایش

در بسیاری از کاربردها پیش می آید که مجبور به نگهداری چندجمله ای هایی هستیم که با این که درجهٔ بزرگی دارند ولی تعداد بسیاری از ضرایب آن‌ها صفر می باشد. که استفاده از فرمت نگهداری فرض شده در ابتدای این نوشته برای چنین چند جمله هایی بسیار ناکاراست. به چنین چند جمله ای هایی، تنک می گوییم و برای اعمال روی آن‌ها الگوریتم‌های بسیاری پیشنهد شده که از ارزش بالایی هم برخوردارند. یک مثال از چنین چندجمله ای هایی در زیر آمده است:

$x^{100}-x^2+1$

به همین دلیل به جای استفاده از آرایه برای نمایش این چند جمله ای‌ها از لیست پیوندی استفاده می شود. به این صورت که هر تک جمله را با یک واحد زبان برنامه نویسی که شامل درجه و ضریب آن باشد نمایش می دهیم و به آن گره می گوییم (مثلاً یک struct یا record) و این گره‌ها را در یک لیست پیوندی که به ترتیب درجه آن‌ها ار کوچک به بزرگ مرتب شده است، نگه می داریم. برای مثال بالا، استفاده از آرایه به حدود 101 واحد حافظه نیاز دارد در حالی با نمایش اخیر می توان آن را با تنها 16 واحد حافظه (حداکثر) نمایش داد زیرا که هر گره در لیست پیوندی اگر شامل توان و ضریب و دو اشاره جلو و عقب باشد به اندازهٔ 4 واحد فضا مصرف می‌کند و با سه گره نیز چند جمله ای فوق قابل نمایش است به علاوهٔ یک گره احتمالی برای سرلیست.

الگوریتم‌های چندجمله ای‌های تنک

در مورد این طرز نمایش چندجمله ای، نمی توان الکوریتم‌های معمول را به کار برد زیرا بسیاری از الگوریتم‌ها فرض می کنند که دسترسی تصادفی سریع به هر یک از ضرایب دارند. مثلاً نمی توان از تبدیل فوریه آن طور که اینجا مطرح شد برای ضرب چندجمله ای‌های تنک استفاده کنیم.
با این حال الکوریتم استراسن که در بالا بحث شد را می توان با تغییر جزیی برای چنین نمایشی نیز به کار برد زیرا در طی آن تنها نیاز است که با یک بار عبور از روی چندجمله ای، وسط آن را پیدا کرد و سپس آن را به دو بخش تقسیم کرد و الگوریتم را به طور بازگشتی ادامه داد. واضح است که چنین تقسیمی به زمان اجرای الگوریتم نمی‌افزاید (از لحاظ تحلیل مجانبی) ولی برخی مسائل جدید در پیاده سازی را پیش می کشد مانند حالات تهی یا نصف تهی. که در بدترین حالت با افزودن تعداد ثابتی گره با ضریب صفر و اضاه کردن حالات پایه برای زمانی که چلیست پیوندی نمایش دهندهٔ چندجمله ای تهی است، به راحتی می توان این الگوریتم را روی چندجمله ای‌های تنک نیز اجرا کرد.
الگوریتم‌های پیشرفته تر برای ضرب چندجمله‌های تنک که سریع تر نیز عمل می کنند و مثلاً در برخی از آن‌ها از داده ساختار هیپ برای نگهداری چندجمله ای‌ها و نمایش آن‌ها استفاده می شود، نیز وجود دارند ولی در این جا به جزییات بیش تری از آن‌ها نمی‌پردازیم.

(ویرایش) توسط deo

منبع:ویکی پدیا

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 15:49 توسط deo |

سیکل (ریاضی)

سیکل، در نظریه گروه‌ها، مجموعه جایگشت‌های اعضای مجموعه‌ای چون X است که اعضای زیرمجموعه‌ای چون S را به وسیله یک "نگاشت هندسی" معین به شیوه‌ای چرخشی روی یکدیگر می‌نگارد در حالی که اعضای دیگر بدون تغییر در جای خود می‌مانند (یعنی آنها را روی خودشان می‌نگارد). اینجا زیرمجموعه S را یک مدار (orbit) برای آن سیکل می‌نامند.

(منبع:ویکی پدیا)

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 15:44 توسط deo |

ساختار جبری

ساختار جبری، عبارت است از یک یا چند مجموعه، که یک یا چند عمل یا رابطه روی آن تعریف شده باشد. جبر مجرد به مطالعه ساختارهای جبری می‌پردازد.

به عنوان مثال مجموعه اعداد طبیعی به همراه رابطه کوچک‌تری، مجموعه اعداد حقیقی به همراه عمل جمع نمونه‌هایی از یک ساختارهای جبری هستند. گاهی ممکن است ساختمان جبری همراه بیش از یک عمل دوتایی باشد مانند مجموعه اعداد حقیقی به همراه دو عمل جمع و ضرب.

این ساختارها معمولاً دارای اصول موضوع تعریف شده‌ای هستند.از جمله مهم‌ترین ساختارهای جبری مجرد می‌توان تکواره‌ها، گروه‌ها، حلقه‌ها، مشبکه ها (توری‌ها) را نام برد.

انواع ساختارهای جبری

تکواره‌ها

تعریف: مجموعهٔ غیر تهی M و عملگر دوتایی o و عضو ویژهٔ e از مجموعهٔ M را در نظر می‌گیریم. ساختار جبری (M=(M،o،e را یک تکواره گویند هرگاه داشته باشیم: (۱) ∀ a،b،c ϵ M a o (b o c)=(a o b) o c

  (2)         ∀ a ϵ M                    a o e=e o a=a

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 15:43 توسط deo |

ساختار (ریاضی)

ساختار در ریاضیات به معنای مجموعه‌ای است که به آن اجزای ریاضی دیگری نیز افزوده شده تا برخی خواص مجموعه بهتر درک یا مجسم شود. مثلاً با افزودن دو مفهوم جمع و ضرب به مجموعه اعداد حقیقی این مجموعه دارای ساختاری جبری به‌نام میدان می‌شود.

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 15:42 توسط deo |

روش هورنر

روش هورنر روشی کارامد برای محاسبه مقدار یک چندجمله‌ای در نقطه مورد نظر می‌باشد.

الگوریتم بدیهی برای محاسبه مقدار چندجمله‌ای در نقطه مورد نظر

یک الگوریتم بدیهی برای اینکه مقدار این چند جمله‌ای را در نقطه‌ای مانند $x=x_0$ به دست آوریم، این است که هر جملهٔ این چندجمله‌ای را مجزا حساب کرده وهمه را با هم جمع کنیم. در ادامه شبه کد این الگوریتم آمده‌است:

Naive-Poly-Eval(A : Poly, x)
 y = ۰
 for k = ۱ to length(A)
  do p = ۱
     for j = ۱ to k
       do p = p*x
     y = y + A[k]*p
 return y

لازم به توضیح است که در شبه کد بالا A به عنوان آرایه‌ای است که ضرایب چندجمله‌ای را در خودش نگه می‌دارد.

تحلیل

خب نگاهی مختصر به تحلیل این الگوریتم می‌اندازیم. مشخص است که حلقه داخلی بیشترین زمان اجرای را دارد و زمان اجرای کل الگوریتم هم از تتا این زمان اجرا خواهد بود. بنابراین با یه جمع زدن تعداد دفعات اجرای حلقه داخلی به زمان اجرایی معادل $n^2$ می‌رسیم. که زمان اجرای به نسبت زیادی هست. باید ببینیم آیا راهی برای بهتر کردن الگوریتم هست یا نه؟

ایده بهینه کردن این الگوریتم

با کمی دقت در می‌یابیم، این زمان اجرای بالا از این جهت ایجاد می‌شود که ما همیشه برای محاسبهٔ توان n ام $x_0$ واقعاً n بار عمل ضرب را انجام می‌دهیم. بدون توجه به اینکه ما می‌توانیم با انجام دادن فقط یک عمل ضرب این توان را از توان n-۱ آن بدست آوریم.

بنابراین یک ایده برای اینکه الگوریتم را بهتر کنیم این است که همیشه مقدار توان محاسبه شده یک مرحله قبل را نگه داریم تا توان مرحله کنونی را فقط با یک عمل ضرب بدست آوریم. این طوری زمان اجرای الگوریتم خطی می‌شود که بسیار کارا تر از الگوریتم قبلی هست.

روش هورنر

ویلیام جورج هورنر با در نظر گرفتن همین ایده پیاده سازی دیگری از این الگوریتم را ارائه می‌کند، در ادامه شبه کد این الگورتم آمده‌است:

Horner-Poly-Eval(A : Poly, x)
 y = ۰
 k = n : length(A)
 while k>= ۰
   do y = A[k] + x*y
      k = k - ۱
 return y

روند اجرای الگوریتم هورنر

به روند اجرای این الگوریتم نگاهی دقیق تر می‌اندازیم.

ابتدا چندجمله‌ای را به صورت زیر ساده می‌کنیم:

$P(x)=a_0+x(a_1+x(a_2+ ... +x(a_{n-1}+xa_n)))$

تا اینجا احتمالاً مشخص شده که این الگوریتم چه طوری عمل می‌کند.

برای بیشتر روشن شدن قضیه به مقدار y در ابتدای حلفه نگاه می‌اندازیم:

۱ y = ۰
۲ y = A[n]
۳ y = A[n-۱] + y*x
4 y = A[n-۲] + y*x
    .
    .
    .
n y = A[۰] + y*x

تحلیل

برای تحلیل این الگوریتم هم در نظر داشته باشید که فقط یک حلقه وجود دارد که به اندازه طول آرابه A انجام می‌شود. دستورها داخل حلقه هم که از O(۱) هستند. بنابراین این الگوریتم هم خطی می‌باشد.

منبع:ویکی پدیا

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 15:41 توسط deo |

رابطه بازگشتی

رابطهٔ بازگشتی، در ریاضیات، دنباله‌ای است که به صورت بازگشتی تعریف می‌شود.

معادلهٔ تفاضلی نوع خاصی از رابطهٔ بازگشتی است.

بسیاری از روابط بازگشتی ممکن است رفتارهای پیچیده‌ای از خودشان نشان دهند این نوع روابط توسط فیزیکدانان و ریاضیدانان در شاخه‌ای از ریاضیات به نام انالیز غیر خطی مطالعه می‌شوند. حل یک معادله معادله بازگشتی یعنی به دست اوردن یک فرم بسته برای ان (یک تابع غیر بازگشتی از n).

رابطهٔ بازگشتی خطی همگن با ضرایب ثابت

اصطلاح خطی به این معناست که هر جمله‌ای این توالی به صورت یک تابع خطی از جمله‌های قبلی تعریف می‌شود. مرتبهٔ یک رابطهٔ بازگشتی خطی برابراست با تعداد جمله‌های قبلی مورد نیاز توسط تعریف. به عنوان مثال $a_n = a_{n-2}$ از مرتبهٔ ۲ است.زیرا حتماً باید جملهٔ قبل وجود داشته باشند(چه هر دو استفاده شوند، چه نشوند)

فرم کلی رابطهٔ بازگشتی خطی همگن از مرتبهٔ d: : $a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2}+\cdots+c_da_{n-d} + c \,$

$c \,$ و $c_i \,$ می‌توانند به n وابسته باشند اما $a_i \,$ ها نه. اگر تمام $c_i \,$ ها مستقل از n باشند گفته می‌شود این رابطه دارای ضرایب ثابت است، همچنین اگر $c = 0 \,$ گفته می‌شود که رابطهٔ بازگشتی خطی است که گاهی LRS نیز گفته می‌شود.

رابطهٔ بازگشتی خطی با مقادیر اولیهٔ (شرایط اولیه) $a_0,\dots,a_{d-1}$ یک توالی یکتا را مشخص می‌کند.

مثال:اعداد فیبوناچی

اعداد فیبوناچی به صورت رابطه بازگشتی خطی تعریف می‌شوند: $F_{n} = F_{n-1}+F_{n-2} \,$ با مقادیر اولیهٔ : $F_1 = 1 \,$ و: $F_2 = 1. \,$ دنبالهٔ اعداد فیبوناچی ...۱،۱،۲،۳،۵،۸ این دنباله را می‌توان با راه حل ماتریسی که در زیر شرح داده می‌شود حل کرد.

حل کردن توسط جبر خطی

با داشتن یک رابطهٔ بازگشتی خطی می‌توان ماتریسی برای ان نوشت : $\begin{bmatrix}a_0\\ \vdots\\ a_{d-1}\end{bmatrix} = b_1v_1 + \cdots + b_dv_d$

$\begin{bmatrix}a_n\\ \vdots\\ a_{n+(d-1)}\end{bmatrix} = C^n\begin{bmatrix}a_0\\ \vdots\\ a_{d-1}\end{bmatrix} = C^n(b_1v_1 + \cdots + b_dv_d) = \lambda_1^nb_1v_1 + \cdots + \lambda_d^n b_dv_d$

پس فرم بسته $a_n$ بدست امد.

حل کردن به صورت عمومی

راه حل‌ها برای رابطهٔ بازگشتی اصولی با قاعده هستند . اغلب با تابع مولد یا با توجه به این کهrⁿ یک جواب برای مقادیر ویژه r است.رابطهٔ باز گشتی زیر را در نظر بگیرید: $a_{n}=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}. \,$ فرض کنید جواب ان به فرم a_n = rⁿ است . در نتیجه : $r^{n}=Ar^{n-1}+Br^{n-2}. \,$ با تقسیم بر r^n − ۲

$r^2=Ar+B, \,$

$r^2-Ar-B=0. \,$

به این معادله، معادله مشخصهٔ رابطه بازگشتی گفته می‌شود با حل این معادله دو مقدار برایr، بدست می اید که اگر متمایز باشند جواب عبارتست از :

$a_n = C\lambda_1^n+D\lambda_2^n \,$

اما اگر λ_۱، λ_۲ برابر باشند جواب عبارتست از :

$a_n = C\lambda^n+Dn\lambda^n \,$

CوD با مقادیر اولیه a_۰ = a، a_۱ = b مشخص می‌شوند.

منبع:ویکی پدیا

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 15:38 توسط deo |

جبر لی

تعریف و ویژگی‌ها

یک جبر لی $\,\mathfrak{g}$ یک فضای برداری بر یک میدان $F$ است که به یک حاصلضرب $[\cdot,\cdot]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ مجهز است که براکت لی نامیده می‌شود و در خواص زیر صدق می‌کند:

1-دوخطی: $[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]$

2- پادتقارنی: $[x,y]=-[y,x].$

3- اتحاد ژاکوبی: $[x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 \quad$ ^[۱]

ساختار جبر لی

مطالعه جبرهای لی با مطالعه ساختارشان بسیار ساده می شود. ساختار با استفاده از ویژگی‌های جابجایی جبر لی مشخص می شوند.

ساختار یک جبر لی، یا یک جبر محلی لی توسط ثابت ساختار که بر حسب جملات بردارهای پایه $X_i$ تعریف می شوند، خلاصه می شود:

$[X_i,X_j ]=c_ij^k X_k$

ثوابت ساختار $c_ij^k$ مولفه هایی از یک تانسور مرتبه سه هستند که در دو اندیس خود همورد $( c_ij^k=-c_ji^k)$ و در اندیس سوم پادورد هستند. این مولفه‌ها از تساوی ژاکوبی پیروی می کنند که یک قید درجه دو بر روی ثوابت اعمال می کند.

$c_ij^s c_sk^t+c_jk^s c_si^t+c_ki^s c_sj^t=0$

خطی سازی گروه لی یک جبر لی می سازد. یک گروه لی را می توان با معکوس کردن این فرایند بازیابی کرد. این فرایند به عمل به نما رسانی موسوم است.

جبر لی ماتریسی

مجموعه ای از ماتریسهای $n\times n$ که تحت جمع برداری، ضرب اسکالری و جابجایی بسته باشند یک جبر لی ماتریسی می سازد. ویژگی‌های پادتقارنی و تساوی ژاکوبی توسط ضرب ماتریسی ارضا می شود.

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 15:37 توسط deo |

چند گونای جبری

یک چندگونای جبری به بیان غیر صوری، متناظر با مجموعه نقاطی است که یک معادله چندجمله‌ای یا مجموعه‌ای از معادلات چندجمله‌ای‌ در آن مقدار صفر را اختیار می‌کنند.^[۱] مجموعه های جبری و چندگونای جبری (یا متغییرهای جبری)، اشیاء مرکزی هندسه جبری هستند.

مکعب بهم تابیده یک متغیر جبری تصویری است.

تعاریف رسمی

متغیرهای جبری را میتوان به چهار دسته طبقه بندی کرد:واریته آفین(به فارسی:متغیر معین)، متغیر شبه معین، متغیرهای تصویری، و متغیرهای شبه تصویری. مفهوم عمومی دیگری با عنوان خلاصه انواع جبری (یا متغیر جبر انتزاعی) نیز وجود دارد.

منبع:ویکی پدیا

+ نوشته شده در دوشنبه هجدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 15:36 توسط deo |

جبر محاسباتی

جبر محاسباتی شاخه‌ای از علوم کامپیوتر و ریاضیات است که به مطالعه الگوریتم‌های جبری با زبان جبر می‌پردازد. برخی از مسائل جبر محض از مطالعه جبر محاسباتی حاصل گشته‌اند.

طی بیست سال گذشته بسیاری از شاخه‌های جبر (و نه همه آن) حاوی نظریه‌های غنی الگوریتمی گشته‌اند، یعنی می‌توان الگوریتم‌های قوی برای پاسخ به سوالاتی که در ساختارهای جبری هستند بدست آورد.

+ نوشته شده در یکشنبه هفدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 21:7 توسط deo |

چند جمله ای ها در (جبر)

در ریاضیات، چندجمله‌ای به عبارت متغیری اطلاق می‌شود که از ترکیب خطی تک‌جمله‌ای‌ها تشکیل گردیده است. توان متغیرهای به کاررفته در چندجمله‌ای باید اعداد صحیح غیر منفی باشد.

مثال‌ها:

$x^2 - 4x + 7\,$ یک چندجمله‌ای است.
$x^2 - 4x^\frac{2}{3} + 7\,$ چندجمله‌ای نیست چرا که توان متغیر $x \,$ در جملهٔ $- 4x^\frac{2}{3} \,$ عددی است کسری
$x^3 - 4x^{-2} + 3x + 7\,$ چندجمله‌ای نیست زیرا توان متغیر $x \,$ در جملهٔ $- 4x^{-2} \,$ عددی است منفی.

کاربردها

چندجمله‌ای‌ها در تمامی مباحث ریاضیات مهم بوده و نقش بسیار اساسی دارند. از چندجمله‌ای‌ها برای تقریب توابع در آنالیز عددی و حسابی استفاده می‌شود و در خارج از ریاضیات معادلات اساسی اقتصاد و علم فیزیک براساس چندجمله‌ای‌ها بیان می‌گردد.

در جبر خطی از چندجمله‌ای‌ها برای معادلات مشخصه ماتریس‌ها به کار گرفته می‌شود.

در نظریه گراف چندجمله‌ای‌های رنگ تعیین می‌نماید که چگونه گراف را با استفاده از تعدادی معین رنگ رنگ‌آمیزی نمود.

مقدمه

چندجمله‌ای‌ها از عبارت‌هایی بنام تک‌جمله‌ای تشکیل شده است. این عبارات از ضرب یک عدد ثابت (بنام ضریب) در یک یا چند متغیر ایجاد می‌شوند. هر متغیر باید یک توان ثابت عددی داشته باشد. با توجه به $x=x^1$ درجه یک متغیر که نوشته نشده است برابر ۱ است. یک تک‌جمله‌ای بدون متغیر تک‌جمله‌ای ثابت یا به تنهایی ثابت خوانده می‌شود. ضریب یک تک‌جمله‌ای می‌تواند یک عدد صحیح، کسری، مختلط و یا منفی تشکیل می‌شود. درجه یک جمله ثابت برابر ۰ است. یک تکجمله‌ای که از یک متغیر تشکیل شده است یک چندجمله‌ای تک‌متغیره نامیده می‌شود.

به عنوان مثال:

$-5x^2y\,$

یک تک‌جمله‌ای است. ضریب آن ۵- است. متغیرها x و y هستند و درجه x برابر ۲ و درجه y برابر ۱ هستند.

درجه یک تک‌جمله‌ای برابر با مجموع تمام درجات متغیرهاست. در مثال بالا درجه برابر با ۳ است.

یک چندجمله‌ای مجموع یک یا چند تک‌جمله‌ای است. در زیر یک چندجمله‌ای نشان داده شده است.

$3x^2 - 5x + 4\,.$

این عبارت دارای سه تک‌جمله‌ای است که درجه جمله اول ۲ و درجه جمله دوم برابر ۱ و جمله سوم درجه‌ای برابر با ۰ دارد.

بصورت معمول هنگام نوشتن یک چندجمله‌ای عبارت به ترتیب درجه جملات آن نوشته می‌شود که از بزرگ‌تر به کوچک‌تر مرتب می‌شوند. در جمله اول ضریب ۳، متغیر x، و توان ۲ است. در جمله دوم ضریب ۵، متغیر x، توان ۱ است. جمله سوم یک ثات است. درجه یک چندجمله‌ای برابر با بزرگ‌ترین درجه بین جملات آن است. درجه این چندجمله‌ای ۲ است.

چندجمله‌ای با درجه یک خطی با درجه ۲ مربعی و با درجه ۳ مکعبی نامیده می‌شود.

چندجمله‌ای با یک جمله تک‌جمله‌ای، با دو جمله دوجمله‌ای، و با سه جمله سه‌جمله‌ای خوانده می‌شود.

عبارت‌های ریاضی که با استفاده از قانون‌های توزیع‌پذیری، جابجایی، و شرکت‌پذیری به چندجمله‌ای تبدیل می‌شوند را نیز چندجمله‌ای در نظر می‌گیرند.

به عنوان مثال:

$\frac{x^3}{12}$

یک چندجمله‌ای است چرا که می‌توان آن را بصورت $\tfrac{1}{12}x^3$ نوشت. ضریب آن برابر است با: $\tfrac{1}{12}$ .

به طور معمول تقسیم بر یک عبارت شامل متغیرها چندجمله‌ای در نظر گرفته نمی‌شود. به عنوان مثال:

${1 \over x^2 + 1} \,$

یک چندجمله‌ای نیست زیرا که بر یک متغیر تقسیم شده است. بطور مشابه:

$( 5 + y ) ^ x ,\,$

یک چندجمله‌ای نیست چرا که توان متغیر دارد.

با توجه به این که می‌توان تفاضل را بصورت حالت خاص جمع و توان را می‌توان بصورت ضرب پی در پی در نظر گرفت. پس در نتیجه چندجمله‌ای‌ها را می‌توان با دو عمل جمع و ضرب ساخت.

توابع چندجمله‌ای

یک تابع چندجمله‌ای تابعی است که از ارزیابی یک چندجمله‌ای حاصل می‌گردد. به عنوان مثال f تعریف شده توسط

$f(x) = x^3 - x \,$

یک تابع چندجمله‌ای است.

از آنجا که توان متغیرهای موجود در جمله‌ها تنها به اعداد صحیح غیر منفی محدود گردیده، و چون عمل تقسیم بر عبارات حاوی متغیرها غیر مجاز اعلام شده، توابع چندجمله‌ای عاری از هرگونه رفتار غیر متعارف نظیر ناپیوستگی، مشتق‌ناپذیری، پرش به سمت بینهایت، و مجانب داشتن هستند.

معادلات چندجمله‌ای

یک معادله چندجمله‌ای معادله‌ای است که از مساوی قرار دادن دو چندجمله‌ای حاصل می‌گردد.

$3x^2 + 4x -5 = 0 \,$

یک معادله چندجمله‌ایست.

در جبر مقدماتی راه‌حل‌هایی برای معادلات از درجه یک و دو ارائه می‌شود. تعداد پاسخ‌ها نمی‌تواند از درجه معادله بیشتر باشد که به آن قضیه اساسی جبر گفته می‌شود.

سیستم چندجمله‌ای‌ها به تعدادی از معادلات گفته می‌شود که در آنها یک متغیر باید مقداری یکسان در تمام آنها داشته باشد. اگر در یک سیستم تعداد متغیرها کمتر از تعداد معادلات باشد سیستم بیش از حد تعیین گشته است که در عمل این گونه سیستم‌ها بسیار دیده می‌شود. به عنوان مثال آمریکا برای یک مطالعه نقشه برداری با استفاده از رایانه به حل ۲.۵ میلیون معادله با ۴۰۰۰۰۰ مجهول اقدام نمود. اگر تعداد معادلات از تعداد مجهول‌ها بیشتر باشد سیستم غیرمشخص است و جواب یکتایی ممکن است برای آن وجود نداشته باشد.

خواص پایه

مجموع دو چندجمله‌ای یک چندجمله‌ای است. به‌عبارت فنی‌تر، مجموعهٔ دربرگیرندهٔ همهٔ چندجمله‌ای‌ها، تحت عمل جمع بسته است.
ضرب دو چندجمله‌ای یک چندجمله‌ای است. یعنی، مجموعهٔ چندجمله‌ای‌ها، تحت عمل ضرب بسته است.
مشتق یک چندجمله‌ای یک چندجمله‌ایست. به‌زبان دیگر، مجموعهٔ چندجمله‌ای‌ها، نسبت به عمل مشتق‌گیری بسته است.
پادمشتق یک چندجمله‌ای یک چندجمله‌ایست. یا مجموعهٔ چندجمله‌ای‌ها، نسبت به عمل انتگرال‌گیری نامعین بسته است.

از چندجمله‌ای‌ها برای تقریب زدن سایر تابع‌ها مانند سینوس و کسینوس و تابع نمایی استفاده می‌شود.

تمام چندجمله‌ای‌ها را می‌توان به گونه‌ای نوشت که در آنها پارانتز حذف شده باشد و همچنین چندجمله‌ای‌ها را می‌توان بصورت ضرب دو یا چند چندجمله‌ای خطی نوشت.

$x^2 - 2x - 3 \,$

را می‌توان بصورت زیر نوشت:

$(x - 3)(x + 1)\,$

توجه شود که ثوابت در بعضی حالات می‌توانند بصورت اعداد مختلط باشند.

هر چندجمله‌ای با یک متغیر بصورت زیر می‌باشد:

$a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$

صورت بالا را می‌توان برای تعریف چندجمله‌ای‌های تک‌متغیره بکار برد.

ارزیابی چندجمله‌ای‌ها با قرار دادن مقدار متغیر و اعمال جمع و ضرب صورت می‌گیرد. البته استفاده از فرمول هرنر می‌تواند مفید باشد.

$((\ldots(a_n x + a_{n-1})x + ... + a_2)x + a_1)x + a_0\,$

(لطفا نظرات،انتقادات و پیشنهادات خود را درباره وبسایت ما بیان کنید)

+ نوشته شده در شنبه شانزدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 17:9 توسط deo |

جبر مجرد

جبر مجرّد (به انگلیسی: Abstract algebra)‏ شاخه‌ای‌ست از ریاضیات که به بررسی ساختارهای جبری مثل گروه، حلقه، و میدان می‌پردازد. آغاز تعریف رسمی این گونه ساختارها به قرن نوزدهم (م) باز می‌گردد.

اصطلاح «جبر مجرّد» در برابر «جبر مقدّماتی» یا «جبر دبیرستانی» به‌کار می‌رود. در حدود نیمه اوّل قرن بیستم این رشته را «جبر مدرن» می‌نامیدند.

جبر مجرد مقدماتی، اشیاء و اعمال ریاضی را، فارغ از ماهیت آنها بررسی می‌کند. اعداد، توابع، ماتریسها، از عناصر آن و اعمال دوتایی ضرب، ترکیب توابع و... از اعمال آن به شمار می‌آیند. دسته بندی گروهها و حلقه‌ها از موضوعات اساسی این شاخه به حساب می‌آیند. برخی شاخه‌های هندسی با جبر مجرد ارتباط پیدا می‌کنند.

جبر مقدماتی بهمراه جبر مجرد و جبر خطی سه شاخهٔ اصلی دستگاه جبر را تشکیل می‌دهند.

+ نوشته شده در شنبه شانزدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 17:5 توسط deo |

جبر و اختیار (فلسفه)

جبر و اختیار ( یا تفویض) یکی از مسایل مهم در فلسفه می‌باشد. گروهی اعتقاد به جبر یعنی مسلوب الاراده بودن انسان دارند اما گروهی اعتقاد به مختار بودن انسان دارند. در مقابل گروهی اعتقاد دارند که انسان در مقابل خداوند حالتی بین جبر و اختیار دارد. یعنی از دیدگاه انسان اختیار وجود دارد اما از دیدگاه خداوند که همه اعمال و رفتار ما چه در گذشته و چه در آینده در محضرش حاضر می‌باشد. همچنین این مساله از مسائل پیچیده ریشه داری است که از دیر زمان بین شیعه و سنی پدید آمده است^[۱]

دیدگاه ها

سید محمد جواد غروی : افعال بندگان همه اختیاری است و اگر اضطرای و اجباری بود تکلیف و و عید و انکار و انذار و توبیخ و تهدید و انگیخنتن و بازداشتن و مانند این ها باطل می شد. اگر هر کس گمان برد که آیه بیست و دو سوره حدید و دیگر آیات کتاب حکیم دال بر آنست که هرچه در عالم واقع گردد مکتوب است مرتکب خطای فاحشی شده است. قطعا این آیه و آیات دیگر اشاره به این معنی دارد که عالم تابع نظام علل و معلولات و اسباب و مسببات است و قطعا خداوند برای هر چیزی سببی قرار داده که مسبب از آن تخلف نمی کند پس هر چه در عالم واقع شود که نفی و اثباتش در اختیار خلق نیست، مقدر است و هرچه در اختیارشان باشد تابع اسباب است.

+ نوشته شده در شنبه شانزدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 17:4 توسط deo |

جبر خطی

جبر خطّی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی و مطالعۀ ماتریسها، بردارها، فضاهای برداری (فضاهای خطّی)، تبدیلات خطی، و دستگاه‌های معادلات خطی می‌پردازد.

کاربردها

جبر خطّی و کارائی‌های فراوان و گوناگون آن در ریاضیات و محاسبات گسسته طیف گسترده و وسیعی را شامل می‌گردد. علاوه بر کاربردهای آن در زمینه‌هایی از خود ریاضیات همانند جبر مجرد، آنالیز تابعی، هندسۀ تحلیلی، و آنالیز عددی، جبر خطّی استفاده‌های وسیعی نیز در فیزیک، مهندسی، علوم طبیعی، وعلوم اجتماعی پیداکرده است.

مقدمه

آغاز نمودن مبحثی با اهمیت و همه‌جاگیری جبر خطی یکی از دشوارترین کارهاست، چرا که، با جهت‌گیری‌ها، تعبیرات، تعمیمات، و آینده‌بینی‌های زیادی روبرو می‌شویم. شاید یکی از انتخاب‌های مناسب این گونه باشد:

ماتریس و بردار زیر را در نظر می‌گیریم:

$M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

با ضرب ماتریس و بردار داریم:

$M v = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ \end{bmatrix} = w$

نتیجهٔ فوق را می‌توان در ترازهای معنائی گوناگونی مورد دقت و بررسی قرار داد. برخی از ملاحظات این گونه است:

ماتریس $M$ به عنوان عمل‌گری بر روی بردار $v$ عمل نموده و آنرا به بردار $w$ تبدیل کرده است. $M$ می‌تواند ثابت انگاشته شده و دستگاهی ساده را نمایندگی کند، که در آن صورت، بردار $v$ اطلاعات یا داده‌هایی را می‌نمایاند که به نوعی به سیستم داده شده است.

سیستم $M$ درست مثل پردازش‌گری اطلاعات را به دانش تبدیل می‌کند. شاید یکی از روشن‌ترین مثال‌های کوتاه برای مفهوم فرایند تبدیل اطلاعات به دانش همین باشد.

ویژه‌مقدار

ویژه‌مقدار و ویژه‌بردار از جملهٔ پرکاربردترین و جوهریترین مؤلفه‌های ماتریس‌ها و عمل‌گرهای خطی می‌باشد. مفهوم و عملکرد این اشیاء ریاضی را باید از جنس تلخیص، فشرده‌سازی اطلاعات، و ساده و آسان حل کردن مسائل خطی دشوار دانست.

فضاهای برداری

از آن‌جا که بسیاری از کمیت‌های فیزیکی مثل نیرو، سرعت و شتاب هم اندازه (بزرگی) دارند و هم راستا، آن‌ها را کمیتی برداری درنظر می‌گیرند.

منبع:ویکی پدیا

+ نوشته شده در شنبه شانزدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 17:3 توسط deo |

جبر

جَبر شاخه‌ای از علم ریاضیات است که به مطالعه ساختار و کمیت می‌پردازد. در جبر از نشانه‌ها و معادلات برای نشان دادن ارتباط بین مفاهیم جبری استفاده می‌کنند. متغیرها و ثابت‌های مختلفی در روابط جبری وارد می‌شود و طبق اصول خاصی که برای هر کدام از انواع این معادلات مقرر شده مقادیر متغیرها به دست می‌آید. می‌توان جبر را تعمیم و تجریدی از حساب دانست که در آن بر خلاف حساب عملیاتی مانند جمع و ضرب نه بر اعداد بلکه بر نمادها انجام می‌گیرد. جبر در کنار آنالیز و هندسه یکی از سه شاخه اصلی ریاضیات است. علم جبر نخستین بار از مشرق‌زمین شروع شد و دانشمندانی چون خوارزمی و غیاث‌الدین جمشید کاشانی در این علم تاثیرگذار بودند.

+ نوشته شده در شنبه شانزدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 17:0 توسط deo |

مکانیک کوانتومی

مکانیک کوانتومی شاخه‌ای بنیادی از فیزیک نظری است که با پدیده های فیزیکی در مقیاس میکروسکوپی سرو کار دارد. دراین مقیاس، کُنِش های فیزیکی در حد و اندازه های ثابت پلانک هستند. بنیادی ترین تفاوت مکانیک کوانتومی با مکانیک کلاسیک در قلمرو کوانتومی است که به ذرات در اندازه های اتمی و زیراتمی می پردازد. مکانیک کوانتومی بنیادی‌تر از مکانیک نیوتنی و الکترومغناطیس کلاسیک است، زیرا در مقیاس‌های اتمی و زیراتمی که این نظریه‌ها با شکست مواجه می‌شوند، می‌تواند با دقت زیادی بسیاری از پدیده‌ها را توصیف کند. مکانیک کوانتومی به همراه نسبیت عام پایه‌های فیزیک جدید را تشکیل می‌دهند.

مکانیک کوانتومی که به عنوان نظریه کوانتومی نیز شناخته شده است، شامل نظریه ای درباره ماده، تابش الکترومغناطیسی و برهمکنش میان ماده و تابش است.

آشنایی

واژهٔ کوانتوم (به معنی «بسته» یا «دانه») در مکانیک کوانتومی از اینجا می‌آید که این نظریه به بعضی از کمیت‌های فیزیکی (مانند انرژی یک اتم در حال سکون) تحت شرایط خاص، مقدارهای گسسته‌ای نسبت می‌دهد. پایه‌های مکانیک کوانتومی در نیمهٔ اول قرن بیستم به وسیلهٔ ورنر هایزنبرگ، ماکس پلانک، لویی دوبروی، نیلس بور، اروین شرودینگر، ماکس بورن، جان فون نویمان، پاول دیراک، ولفگانگ پاولی و دیگران ساخته شد. بعضی از جنبه‌های بنیادی این نظریه هنوز هم در حال پیشرفت است.

در حوالی ابتدای قرن بیستم، کشفیات و تجربه های زیادی نشان میدادند که در مقیاس اتمی نظریه‌های کلاسیک نمی‌توانند توصیف کاملی از پدیده ها ارائه دهند. وجود همین نارسایی ها موجب نخستین ایده ها و ابداع ها در مسیر ایجاد نظریه کوانتومی شدند. بعنوان یکی از مثال های بسیار مشهور اگر قرار بود مکانیک نیوتنی و الکترومغناطیس کلاسیک بر رفتار یک اتم حاکم باشند، الکترون‌ها بایستی به سرعت به سمت هسته اتم حرکت کرده و بر روی آن سقوط می کردند و در نتیجه اتم ها ناپایدار میشدند. ولی در دنیای واقعی الکترون‌ها در نواحی خاصی دور اتم‌ها باقی می‌مانند و چنین سقوطی مشاهده نمیشود. تلاش اولیه برای حل این تناقض توسط نیلس بور با پیشنهاد فرضیه اش دایر بر وجود مدارهای مانا رخ داد، که موفقیت هایی هم در توصیف طیف اتم هیدروژن داشت.

پدیدهٔ دیگری که در این مسیر جلب توجه میکرد، مطالعه رفتار امواج الکترومغناطیسی مانند نور در برهمکنش با ماده بودند. ماکس پلانک در سال ۱۹۰۰ هنگام مطالعه بر روی تابش جسم سیاه پیشنهاد کرد که برای توصیف صحیح مساله تابش جسم سیاه، می توان انرژی این امواج را به شکل بسته‌های کوچکی (کوانتا یا کوانتوم) در نظر گرفت. آلبرت اینشتین از این فکر بهره برد و نشان داد که امواجی مثل نور را می‌توان با ذره‌ای به نام فوتون که انرژی‌اش به بسامد موج بستگی دارد توصیف کرد. در ادامه، با نظریه دوبروی دایر بر امکان توصیف حرکت ذرات بوسیله امواج، این نظریه‌ها به دیدگاهی به نام دوگانگی موج-ذره برای ذرات و امواج الکترومغناطیسی منجر شدند که برطبق آن، ذرات هر دوی رفتارهای موجی و ذره ای را از خود نشان می دهند.

تلاش ها برای تبیین تناقضات و ایجاد رهیافت های جدید، منجر به تکوین ساختار جدیدی موسوم به مکانیک کوانتومی شد که توسط دو فرمولبندی جداگانه (که بعدا معلوم شد هم ارزند) موسوم به مکانیک ماتریسی (عمدتا توسط هایزنبرگ) و مکانیک موجی (بیشتر توسط شرودینگر) توصیف می شد. بعنوان مثال، ایده ی توصیف ذرات با امواج، مولد ابداع مفهوم بسته های موجِ همبسته ذرات شد. به نوبۀ خود، تلاش برای یافتن معادلات حاکم بر تحول زمانی این بسته های موج به معادله موج یا معادله شرودینگر منتهی شد.

در تعبیری که توصیف شرودینگر از مکانیک کوانتومی بدست می دهد، حالت هر سیستم فیزیکی در هر لحظه به وسیلهٔ یک تابع موج مختلط توصیف می‌شود . چون تابع موج یک کمیت مختلط است، خود مستقیما مبین یک کمیت فیزیکی نیست، اما با استفاده از این تابع می‌توان احتمال بدست آمدن مقادیر مختلف حاصل از اندازه گیری یک کمیت فیزیکی را پیش‌بینی کرد. در حقیقت این احتمال با ضریبی از مربع قدرمطلق تابع موج (که کمیت اخیر حقیقی است) برابر است. بعنوان مثال از کاربرد این تابع احتمال، با آن می‌توان احتمال یافتن الکترون در ناحیهٔ خاصی در اطراف هسته در یک زمان مشخص؛ یا احتمال بدست آمدن مقدار خاصی برای کمیت تکانه زاویه ای سیستم را محاسبه کرد. یا مثلا به کمک تابع موج و توزیع احتمال بدست آمده از آن، می توان محتملترین مکان (یا مکان های) حضور یک ذره در فضا را یافت (که در مورد الکترون‌های یک اتم گاهی به آن اُربیتال می‌گویند). البته معنی این حرف این نیست که الکترون در تمام ناحیه ناحیه پخش شده‌است، و الکترون در یک ناحیه از فضا یا هست و یا نیست.

در مکانیک کلاسیک پیش بینی تحول زمانی مقادیر کمیت ها و اندازه گیری مقادیر کمیت ها در نظریه با هر دقت دلخواه ممکن است و تنها محدودیت موجود، خطای متعارف آزمایش و آزمایشگر، یا فقدان داده های اولیه کافی است. اما در مکانیک کوانتومی فرآیند اندازه گیری یک محدودیت ذاتی بهمراه خود دارد. در واقع نمی‌توان برخی کمیت ها (کمیت‌های مزدوج) را هم‌زمان و با هر دقت دلخواه اندازه گیری کرد؛ مانند مکان و تکانه. اندازه گیری دقیقتر هریک از این کمیت ها، منجر به از دست رفتن هرچه بیشتر داده های مربوط به کمیت دیگر می شود. این مفهوم که به اصل عدم قطعیت هایزنبرگ مشهور است، از مفاهیم بسیار مهم در مکانیک کوانتومی بوده و با مفهوم بنیادین "تاثیر فرآیند اندازه گیری بر حالت سیستم" که از ابداعات اختصاصی مکانیک کوانتومی (دربرابر مکانیک کلاسیک است) همبسته است.

توصیف مکانیک کوانتومی از رفتار سامانه‌های فیزیکی اهمیت زیادی دارد، و بسیاری از شاخه‌های دیگر فیزیک و شیمی از مکانیک کوانتومی به عنوان چهارچوب خود استفاده می‌کنند؛ مانند فیزیک ماده چگال، فیزیک حالت جامد، فیزیک اتمی، فیزیک مولکولی، شیمی محاسباتی، شیمی کوانتومی، فیزیک ذرات بنیادی، و فیزیک هسته‌ای. مکانیک کوانتومی علاوه بر این که دنیای ذرات بسیار ریز را توصیف می‌کند، برای توضیح برخی از پدیده‌های بزرگ‌مقیاس (ماکروسکوپیک) هم کاربرد دارد، مانند ابررسانایی و ابرشارگی. همچین کاربردهای وسیعی در حوزه فناوری های کاربردی ، بر مفاهیم و دستاوردهای مکانیک کوانتومی استوار هستند.

مکانیک کوانتومی و فیزیک کلاسیک

نمایش دوگانگی موج-ذره با یک بسته موج فوتونی

اثرات و پدیده‌هایی که در مکانیک کوانتومی و نسبیت پیش‌بینی می‌شوند، فقط برای اجسام بسیار ریز یا در سرعت‌های بسیار بالا آشکار می‌شوند. تقربیاً همهٔ پدیده‌هایی که انسان در زندگی روزمره با آن‌ها سروکار دارد به طور کاملاً دقیقی توسط فیزیک نیوتنی قابل پیش‌ بینی است.

در مقادیر بسیار کم ماده، یا در انرژی‌های بسیار پایین، مکانیک کوانتومی اثرهایی را پیش‌بینی می‌کند که فیزیک کلاسیک از پیش‌بینی آن ناتوان است. ولی اگر مقدار ماده یا سطح انرژی را افزایش دهیم، به حدی می‌رسیم که می‌توانیم قوانین فیزیک کلاسیک را بدون این که خطای قابل ملاحظه‌ای مرتکب شده باشیم، برای توصیف پدیده‌ها به کار ببریم. به این «حد» که در آن قوانین فیزیک کلاسیک (که معمولاً ساده‌تر هستند) می‌توانند به جای مکانیک کوانتومی پدیده‌ها را به درستی توصیف کنند، حد کلاسیک گفته می‌شود.

کوشش برای نظریهٔ وحدت‌یافته

وقتی می‌خواهیم مکانیک کوانتومی را با نظریهٔ نسبیت عام (که توصیف‌گر فضا-زمان در حضور گرانش است) ترکیب کنیم، به ناسازگاری‌هایی برمی‌خوریم که این کار را ناممکن می‌کند. حل این ناسازگاری‌ها هدف بزرگ فیزیکدانان قرن بیستم و بیست‌ویکم است. فیزیکدانان بزرگی همچون استیون هاوکینگ در راه رسیدن به نظریهٔ وحدت‌یافتهٔ نهایی تلاش می‌کنند؛ نظریه‌ای که نه تنها مدل‌های مختلف فیزیک زیراتمی را یکی کند، بلکه چهار نیروی بنیادی طبیعت -نیروی قوی، نیروی ضعیف، الکترومغناطیس و گرانش- را نیز به شکل جلوه‌های مختلفی از یک نیرو یا پدیده نشان دهد.

مکانیک کوانتومی و زیست‌شناسی

تحقیقات چند موسسه در آمریکا و هلند نشان داده است که بسیاری از فرایندهای زیستی از مکانیک کوانتومی بهره می‌برند. قبلا تصور می‌شد فتوسنتز گیاهان فرایندی بر پایه بیوشیمی است اما تحقیقات پروفسور فلمینگ و همکارانش در دانشگاه برکلی و دانشگاه واشنگتن در سنت لوییس به کشف یک مرحله کلیدی از فرآیند فوتوسنتز منجر شده که بر مکانیک کوانتومی استوار است. همچنین پژوهشهای کریستوفر آلتمن، پژوهشگری از موسسه دانش نانوی کاولی در هلند، حاکی از آن است که نحوه کارکرد سلولهای عصبی خصوصا در مغز که تا مدتها فرایندی بر پایه فعالیتهای الکتریکی و بیوشیمی پنداشته می‌شد و محل بحث ساختارگرایان و ماتریالیستها و زیستشناسها بود، شامل سیستمهای کوانتومی بسیاری است. این پژوهشها نشان می‌دهد که سلول عصبی یک حلزون دریایی می‌تواند از نیروهای کوانتومی برای پردازش اطلاعات استفاده کند. در انسان نیز، فیزیک کوانتومی احتمالا در فرآیند تفکر دخیل است.

منبع: ویکی پدیا

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 9:32 توسط deo |

مکانیک کلاسیک

مکانیک کلاسیک (به انگلیسی: Classical mechanics)‏ یا مکانیک نیوتنی یکی از قدیمیترین و آشناترین شاخه‌های فیزیک است. این شاخه با اجسام در حال سکون و حرکت، تحت تأثیر نیروهای داخلی و خارجی، سرو کار دارد. قوانین مکانیک به تمام گستره اجسام، اعم از میکروسکوپی یا ماکروسکوپی، از قبیل الکترونها در اتمها و سیارات در فضا یا حتی به کهکشان‌ها در بخش‌های دور دست جهان اعمال می‌شود.

مکانیک نیوتنی

آخرین فردی که اندیشه‌هایش بر نیوتن و فرمول بندی مکانیک کلاسیک تاثیر عمیق داشت، دکارت بود. با این وجود نظرات تمام کارهای دکارت در زمینه فیزیک حالت توصیفی داشت. اما همین مسائل توصیفی نیز به شدت با فیزیک ارسطویی در تضاد بود. به همین دلیل نخست مکانیک گالیله‌ای بیان کرده و آنگاه فیزیک دکارتی آورده شده است تا با مقایسهٔ آنها با کارهای نیوتن، ارزش و اهمیت کار نیوتن بهتر مشخص شود.

مکانیک گالیله‌ای

پس از کپرنیک و کپلر که در نجوم تحولات را آغاز کردند، گالیله مسئولیت انتقال تاریخی از نجوم به فیزیک را به عهده گرفت. گالیله از جاذبه مطرح شده در قانون سوم کپلر جاذبه و شتاب را استنتاج کرد که از یک سو به حرکت غیر دایروی و سرعت نایکنواخت اجرام سماوی باز می گشت و از سوی دیگر به چند و چون سقوط اجسام در زمین ارتباط داشت. یک طرف نجوم و طرف دیگر قوانین فیزیک. تعریف " شتاب یعنی تغییر سرعت در مقدار و یا جهت " شیرازه نظریه گالیله بود که به نظر متاخرین در این باب متفاوت بود. نظریه ارسطو می‌گفت که حرکت طبیعی اجسام سماوی دایره است و حرکت اجسام زمینی خط مستقیم و اگر جسم زمینی را به حال خود بگذاریم کم کم خواهد ایستاد. گالیله اما می‌گفت که هر جسمی فارغ از سماوی یا زمینی اگر نیروی خارجی بر آن اعمال نشود در حرکت مستقیم خود با سرعت ثابت ادامه خواهد داد و نیروی اعمالی می‌تواند در راستا و یا در سرعت آن جسم تغییر حاصل کند که در هر دو صورت شتاب نامیده می‌شود. همچنین او قانون شتاب را کشف کرد و آن مثال معروف سقوط پر و گلوله در خلاء در اثبات همین موضوع است. او در این مورد دست به یک تصور علمی زد و فرض کرد که اگر بتوان ستونی بدون هوا ایجاد کرد این دو جسم در یک زمان و با یک سرعت به زمین خواهند رسید. این امر محقق نشد مگر زمانی که در تاریخ ۱۶۵۴ ماشین تخلیه هوا اختراع شد و صحت نظر گالیله تائید شد. در همان زمان این امکان نیز به وجود آمد تا شتاب جاذبه زمین اندازه گیری شود. او قوانین حرکت پرتابی را که اکنون به عنوان یک مسئله کلاسیک در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود را نیز کشف کرد.

دکارت و مفهوم حرکت

در باب فیزک دکارت و مفهوم حرکت از دیدگاه او کمتر سخن گفته اند. گویی فیزیک دکارت با آنهمه اهمیت و تاثیرش بر آراء اندیشمندان بزرگی همچون ایزاک نیوتن در مقابل دیگر افکار او همچون تصورات فطری و دوگانه انگاری ذهن - کمتر مورد توجه بوده است.

فیزیک و شالوده‌های آن نزد دکارت نقشی محوری داشتند. هر چند امروزه احتمالاً او را بیشتر با مابعدالطبیعه ذهن و بدن یا برنامه و روش معرفت‌شناسی اش می‌شناسند. در قرن هفدهم میلادی لااقل به یک اندازه، فیزیک مکانیکی و مکانیک جهان هندسی در حرکت که نقش بسیاری در مقبولیت او نزد اندیشمندان معاصرش داشت، شناخته شده بود.^[

پیش زمینه‌های تاریخ

دکارت در جریان مخالفت با فلسفه مدرسی به هیچ وجه تنها نبود آنزمان که دکارت در مدرسه فیزیک می‌آموخت حملات متعددی اندیشه‌های مختلف فلسفه طبیعی ارسطو را هدف قرار می‌داد . اما مهم‌ترین امر در فهم فیزیک دکارت مسئله احیاء اتمیسم سنتی بود. در برابر دیدگاه ارسطویی، اتمیستهای سنتی از جمله دموکریتوس, اپیکور، و لوکرسیوس سعی می‌کردند تا رفتار ویژه اجسام را نه بر حسب صورتهای جوهری، بلکه بر حسب اندازه، شکل و حرکت اجسام کوچکتری بنام اتم تبیین نمایند. اتمهایی که در فضای خالی به حرکت واداشته شده اند . در قرن شانزدهم در باب اندیشه اتمیستی به طور گسترده‌ای بحث می‌شد. بطوریکه در اوایل قرن هفدهم می‌توان تعداد قابل توجهی از طرفداران آن از جمله نیکولاس هیل، سباستین باسو, فرانسیس بیکن، و گالیلو گالیله را نام برد . پس از تمام اینها، فیزیک دکارت نقطه پایانی بر این مباحث گذاشت که کاملا با جهان اتمیستها بیگانه بود.^{[نیازمند منبع]} دکارت اعتقاد به وجود اتمهای جدا از هم و فضاهای خالی را که مشخصه فیزیک اتمیستی بود کنار گذاشت.

جسم و امتداد

فلسفه طبیعی دکارت با مفهوم جسم آغاز می‌شود. البته امتداد، ذاتی جسم یا جوهر جسمانی است. یا آنگونه که در " اصول " اصطلاح فنی آنرا بکار می‌گیرد، امتداد صفت اصلی جوهر جسمانی است . از نگاه دکارت، همچون دیگر بزرگان، علم ما به جواهر نه بصورت مستقیم بلکه از طریق عوارض، صفات و کیفیات، و . . . آنها ست . به همین دلیل در " اصول " می‌نویسد: " گرچه هر صفتی برای اینکه شناختی از جوهر به ما بدهد به تنهایی کافی است، اما همین یک صفت در جوهر هست که طبیعت و ذات جوهر را تشکیل می‌دهد و همه صفات دیگر تابع آن است . مقصود من امتداد در طول و عرض و عمق است که تشکیل دهنده طبیعت جوهر جسمانی است یا اندیشه که تشکیل دهنده طبیعت جوهر اندیشنده است . زیرا همه صفات دیگری که به جسم نسبت دارد منوط به امتداد و تابعی از آن است . و نیز . . . " این ویژگی خاص، امتداد برای جسم و اندیشه برای نفس است . همه دیگر تصورات و مفاهیم به این صفت خاص باز می‌گردند .تا آنجا که بواسطه صور امتداد است که ما اندازه، شکل و حرکت و دیگر صفات جسم را درک می‌کنیم . و همینطور به واسطه مفهوم اندیشه یا فکر است که قادر به درک اندیشه‌های خاص خود هستیم . تصور امتداد بسیار نزدیک به تصور جوهر جسمانی است، بطوریکه دکارت اذعان می‌دارد که ما قادر به درک مفهوم این جوهر فارغ از صفت اصلی آن نیستیم . دکارت در" اصول " اینگونه می‌نویسد: " تصور جوهر جسمانی بصورتی متمایز از کمیت خویش، تصوری مبهم از یک چیز غیر جسمانی است . گرچه بعضی این موضوع را به نحو دیگری بیان می‌کنند، اما من در هر حال فکر می کنم که نحوه تلقی آنها غیر از آن چیزی باشد که هم اکنون گفتم . زیرا وقتی جوهر را از امتداد و کمیت انتزاع می‌کنند، یا مقصودشان از جوهر لفظی است که دلالت بر چیزی ندارد یا تقریباً تصور مبهمی از جوهری غیرجسمانی در ذهن خود دارند که آن را بغلط به جسم نسبت می‌دهند و تصور حقیقی خود را از آن جوهر جسمانی به امتداد معطوف می‌کنند که در عین حال از نظر آنان عرض نامیده می‌شود . بنابراین می‌توان بسهولت دریافت که الفاظ آنها با افکارشان مطابقت ندارد."

دکارت به حرکات، حالات و اشکال که اجسام می‌توانند دارای آنها باشند، قائل می‌گردد. بدین ترتیب، رنگها، مزه‌ها، گرما و سرما در واقع در اجسام وجود ندارند بلکه آنها تنها در ذهنی که آنها را ادراک می‌کند موجود اند . البته مهم است که بدانیم آن هنگام که دکارت ذات یا جوهر جسم را امتداد انگاشت، قائل به جوهر به آن دقتی که مدرسیان معاصرش قائل بودند، نبود .

خلاصه اینکه تمایز میان یک جوهر و عوارض آن در مابعدالطبیعه مدرسی یک اصل است ( مثلاً، انسان ذاتاً یک حیوان ناطق است که با از دست دادن هرکدام از صفات حیوان یا ناطق دیگر انسان نیست )؛ اما عوارض غیر ذاتی - نسبت کاملاً متفاوتی با جوهر دارند، بطوریکه با از بین رفتن آنها تغییری در طبیعت جوهر رخ نمی‌دهد . حال، بعضی از آن عوارض مجموعه‌ای از آن چیزهایی هستند که تنها در انسان یافت می‌شود .

نزد دکارت تمام عوارض یک جوهر جسمانی باید بوسیله ذاتشان که همان امتداد است فهمیده شوند . هیچ چیز در جسم وجود ندارد که توسط ویژگی ذاتی امتداد قابل درک نباشد . بدین ترتیب اجسام دکارتی، اجسامی هندسی هستند که در خارج از ذهنی که آنها را ادراک می‌کند وجود دارند .

حرکت

حرکت در فیزیک دکارت امری کاملاً تعیین کننده است^{[نیازمند منبع]}. همه آنچه درجسم وجود دارد امتداد است، و تنها طریق برای اینکه جسمی از جسم دگر قابل تفکیک جلوه کند، حرکت است . بدین ترتیب، آنچه باعث تعین اندازه و شکل اجسام منفرد می‌گردد حرکت است و بدینسان حرکت، محوری‌ترین اصل تبیینی در فیزیک دکارت است .

باید توجه داشت که نظریه هندسی جسم به عنوان امتداد، ذاتاً جهانی ایستا را بر ما عرضه می‌دارد. اما واضح است که حرکت یک واقعیت است، و ماهیت آن را باید بررسی کرد . با این همه، ما باید فقط حرکت مکانی را بررسی کنیم . زیرا دکارت تصریح می‌کند که هیچ نوع دیگری از حرکت برای او قابل تصور نیست.

در عرف عام، حرکت " عملی است که با آن جسمی از مکانی به مکانی دیگر عبور می‌کند " و در مورد یک جسم مفروض می‌توانیم بگوییم که این جسم، بر حسب نقاط مرجعی که اختیار می‌کنیم، در عین حال هم متحرک است و هم غیر متحرک . کسی که کشتی متحرکی سوار است نسبت به ساحلی که آن را ترک گفته است متحرک است، ولی در عین حال نسبت به اجزاء کشتی در حالت سکون است ."

حرکت به معنای اخص عبارت است از " انتقال یک جزء ماده یا یک جسم از مجاورت اجسامی که در تماس مستقیم با آن اند^[. و ما آنها را در حال سکون تلقی می‌کنیم، به مجاورت اجسام دیگر ". در این تعریف تعبیرات " جزء ماده " و " جسم " را باید به معنای چیزی گرفت که در معرض حرکت انتقالی واقع می‌شود، ولو اینکه مرکب از اجزاء کثیری باشد که دارای حرکات خاص خویش اند و کلمه " حرکت انتقالی " را باید مبین این معنی دانست که حرکت در جسم مادی است و نه در فاعلی که آن را حرکت می‌دهد . حرکت و سکون صرفاً حالات مختلف یک جسم اند . به علاوه تعریف حرکت به عنوان حرکت انتقالی جسمی از مجاورت اجسام دیگر متضمن این معنی است که شیء متحرک فقط یک حرکت می‌تواند داشته باشد؛ در حالی که اگر از کلمه " مکان " استفاده می‌شد، می‌توانستیم به یک جسم واحد حرکات متعددی نسبت دهیم، زیرا مکان را می‌توان نسبت به نقاط مرجع متفاوتی لحاظ کرد. بالاخره در تعریف، کلمات " و ما آنها را در حالت سکون تلقی می‌کنیم " معنای کلمات " اجسامی که در تماس مستقیم با آن اند " را محدود می‌کند.

دکارت جهت زدودن ابهام از چهره حرکت مدرسی دست به تعریف دقیق خود از حرکت می‌زند^[او با توجه به وضوح مفهوم عرفی حرکت، آنرا هندسی لحاظ می‌کند تا از گرفتار شدن در کلاف تعاریف گمراه کننده مدرسی بپرهیزد . بعدها دکارت در " اصول " با کوشش در نظام مند نمودن اندیشه اش سعی می‌کند به مفهوم حرکت، با توجه به تعریفی که نزد عوام بکار می‌رود روشنی ببخشد" اما حرکت ( یعنی حرکت مکانی، زیرا من حرکت دیگری نمی‌توانم تصور کنم و گمان نمی کنم بتوان حرکت دیگری در طبیعت تصور کرد ) به معنی معمولی کلمه چیزی نیست جز عملی که جسم با آن از مکان به مکان دیگر می‌رود . " دکارت تعریف دیگری از حرکت را جهت روشنایی بخشیدن به مفهوم مکان پیشنهاد می‌کند . در " اصول " اصل 25 می‌نویسد : " اما اگر عادت عمومی را رها کنیم و به حقیقت ماده توجه کنیم اجازه دهید ببینیم بر اساس حقیقت شیء از حرکت چه می‌توان فهمید . برای اینکه طبیعت مشخص حرکت را تعیین کنیم، می‌توان گفت حرکت عبارت است از انتقال جزئی از ماده یا از یک جسم از کنار اجسامی که بدون فاصله با آن اتصال دارند و ما آنها را در سکون تلقی می کنیم به کنار اجسام دیگر . مقصود من از " یک جسم " یا " جزئی از ماده " تمام آن چیزی است که یکجا و بر روی هم تغییر مکان می‌دهد؛ گر چه ممکن است این جسم خود مرکب از اجزاء بسیاری باشد که فی نفسه حرکات دیگری داشته باشند . من این عمل را انتقال مینامم نه نیرو یا فعلی که انتقال می‌دهد، تا نشان دهم که حرکت همیشه در شیء متحرک است نه در محرک . زیرا به نظر من این دو دقیقاً از هم تفکیک نشده اند . علاوه بر این، من چنین درک می کنم که حرکت حالتی از شیء متحرک است و نه یک جوهر؛ درست همانطور که شکل حالتی از شیء متشکل و از اصل سکون حالتی از شیء ساکن است . "^{[نیازمند منبع]}

مدت و زمان

تصور زمان با تصور حرکت ارتباط دارد . ولی ما باید تمایزی میان زمان و مدت قائل شویم . مدت حالتی از شیء به لحاظ دوام وجود آن اعتبار می‌شود . ولی زمان که به عنوان مقدار حرکت وصف می‌شود از مدت به معنای عام متمایز است . " ولی برای اینکه مدت همه اشیاء را تحت ضابطه و ملاک واحدی ادراک کنیم، معمولاً مدت آنها را با مدت بزرگ‌ترین و منظم‌ترین حرکات، یعنی حرکاتی که علت پیدایش سالها و روزهاست، مقایسه می کنیم، و از اینها به زمان تعبیر می کنیم . بنابراین زمان چیزی را به مفهوم مدت، به معنای عام، اضافه نمی‌کند، بلکه به نحوه‌ای از فکر یا اعتبار ذهن است " . بنابر این دکارت می‌تواند بگوید که زمان فقط نحوه‌ای از فکر یا اعتبار ذهن است و یا، چنانکه در " اصول " می‌آید , " فقط نحوه‌ای از اعتبار این مدت است . " اشیاء مدت یا دوام دارند، ولی می‌توانیم به وسیله مقایسه‌ای این مدت‌ها را در ذهن اعتبار کنیم و در آن صورت ما تصور زمان را داریم، که مقدار مشترک مدتهای مختلف است .

پس در عالم مادی جوهر جسمانی را داریم، که آن را امتداد حرکت می دانیم، اما چنانکه قبلاً ملاحظه شد، اگر نظریه هندسی جوهر جسمانی را فی نفسه اعتبار کنیم، به تصور یک عالم ایستا میرسیم . زیرا تصور امتداد فی نفسه مستلزم تصور حرکت نیست . بنابراین، حرکت بالضروره به عنوان امری زائد بر جوهر جسم مینماید . و در واقع حرکت در نظر دکارت حالتی از جسم است . بنابراین، باید درباره منشا حرکت تحقیق کرد . و در این مرحله، دکارت تصور خداوند و فاعلیت الهی را به میان می‌کشد . زیرا خداوند اولین علت حرکت در عالم است .^[ به علاوه، او مقدار متساوی و ثابتی از حرکت را در عالم حفظ می‌کند، به نحوی که هر چند نقل و انتقالی در حرکت واقع می‌شود، مقدار کلی آن ثابت باقی می ماند . " به نظر من واضح است که کسی غیر از خداوند نیست که با قدرت کامله خویش ماده را با حرکت و سکون اجزای آن خلق کرده باشد، و با مشیت بالغه خویش هم اکنون در عالم همان قدر حرکت و سکونی را که به هنگام خلق آن ایجاد کرده بود، حفظ کند. زیرا هر چند حرکت فقط حالتی از احوال ماده متحرک است، با وجود این ماده مقدار خاصی از حرکت را که هرگز قابل زیادت و نقصان نیست حفظ می‌کند، ولو اینکه در برخی از اجزاء آن گاهی حرکت بیشتر و گاهی حرکت کمتری وجود دارد . . . " . می‌توان گفت که خداوند عالم را با مقدار معینی از نیرو آفریده است، و کل مقدار نیرو در عالم، با آنکه مستمراً از جسمی به جسم دیگر منتقل می‌شود، ثابت می ماند . در نهایت نباید از نظردور داشت که دکارت در صدد است که بقای مقدار حرکت را از مقدمات مابعدالطبیعی، یعنی، از ملاحظه کمالات الهی، استنتاج کند .

آیزاک نیوتن

نیوتن در سال ۱۶۸۷ میلادی "اصول ریاضین فلسفهٔ طبیعی" را به نگارش درآورد. در این کتاب او مفهوم گرانش عمومی را مطرح ساخت و با تشریح قوانین حرکت اجسام، علم مکانیک کلاسیک را پایه گذاشت. نیوتن همچنین در افتخار تکمیل حساب دیفرانسیل با ویلهلم گوتفرید لایبنیتز ریاضیدان آلمانی شریک است.^{[نیازمند منبع]} نام نیوتن با انقلاب علمی در اروپا و ارتقاء تئوری خورشید- مرکزی (heliocentrism) پیوند خورده ‎ است.او نخستین کسی است که قواعد طبیعی حاکم بر گردشهای زمینی و آسمانی را کشف کرد. وی همچنین توانست برای اثبات قوانین حرکت سیارات کپلر برهان‌های ریاضی بیابد. در جهت بسط قوانین نامبرده، او این جستار را مطرح کرد که مدار اجرام آسمانی ( مانند ستارگان دنباله دار) لزوما بیضوی نیست بلکه می‌تواند هذلولی یا شلجمی نیز باشد. افزون بر اینها، نیوتن پس از آزمایش‌های دقیق دریافت که نور سفید ترکیبی است از تمام رنگ‌های موجود در رنگین‌کمان. در آن دوران دروس دانشکده عموماً بر پایهٔ آموزه‌های ارسطو تنظیم می‌شد ولی نیوتن ترجیح می‌داد که با اندیشه‌های مترقی‌تر فیلسوفان نوگرایی چون دکارت، گالیله، کپرنیک و کپلر آشنا شود. در ۱۶۶۵ میلادی او موفق به کشف قضیهٔ دو جمله‌ای در جبر شد. یافته‌ای که بعدها به ابداع حساب دیفرانسیل انجامید.

در سال ۱۶۸۴ میلادی نیوتن که مطالعات خود را دربارهٔ گرانش و چگونگی حرکت سیارات کامل کرده بود، رساله‌ای در این مورد نوشت که بسیار مورد توجه ادموند هالی منجم معروف انگلیسی قرار گرفت. با تشویق و پیگیری او سرانجام نیوتن کتابش را تکمیل و با سرمایه هالی منتشر کرد.

کتاب (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) اصول ریاضی فلسفهٔ طبیعی بر جهان علم بویژه فیزیک تأثیری عظیم گذاشت و بعضی آن را بزرگ‌ترین کتاب علمی تاریخ دانسته‌اند.

کپلر نتوانسته بود توضیح دهد که چرا مدار سیاره‌ها بیضی است و چه نیرویی آنها را به حرکت در می‌آورد. همچنین مشخص نبود که به چه علت سرعت مداری سیارات وقتی به خورشید نزدیکتر می‌شوند، افزایش می‌یابد.نیوتن در کتاب اصول ریاضی فلسفه طبیعی به تمامی این پرسش‌ها پاسخ گفت. او ثابت کرد که نیروی کشش میان اجسام آسمانی، طبق قانون " عکس مربع" عمل می‌کند یعنی مقدار نیروی گرانش میان خورشید و یک سیاره برابر است با عکس مجذور فاصله میان آن دو. او با تحلیل ریاضی نشان داد که قانون عکس مربع به ناگزیر مسیر حرکت سیاره‌ها را بیضی می‌سازد. آنگاه او گام بلند دیگری برداشت و قانون گرانش عمومی را وضع کرد که به موجب آن هر جسمی در عالم به هر جسم دیگری نیروی کششی وارد می‌کند و مقدار این نیرو با رابطهٔ نامبرده محاسبه‌پذیر است. در بخش دیگری از کتاب اصول ریاضی فلسفه طبیعی، نیوتن چگونگی جنبش اجسام را در قالب سه قانون توصیف کرده است. ارسطو بر این باور بود که اجسام در حالت طبیعی ساکن هستند و برای اینکه یک جسم با سرعت یکنواخت به حرکت خود ادامه دهد، باید پیوسته نیرویی بر آن وارد شود در غیراین صورت به حالت «طبیعی» خود برمی‌گردد و ساکن می‌شود. اما نیوتن با بهره‌گیری از پژوهشهای گالیله به این پندار درست رسید که اگر جسمی با سرعت یکنواخت به حرکت درآید و نیرویی بیرونی به آن وارد نشود تا ابد با شتاب صفر به حرکت خود ادامه خواهد داد. این ویژگی را نیوتن در نخستین قانون حرکت خود چنین بیان می‌کند.

قانون یکم

هر جسم که در حال سکون یا حرکت یکنواخت در راستای خط مستقیم باشد، به همان حالت می‌ماند مگر آنکه در اثر نیروهای بیرونی ناچار به تغییر آن حالت شود.

دومین قانون به این پرسش پاسخ می‌دهد که اگر بر یک جسم نیروی خارجی وارد شود، حرکت آن چگونه خواهد بود.

قانون دوم

آهنگ تغییر اندازهٔ حرکت یک جسم، متناسب با نیروی برآیندِ وارد بر آن جسم است و در جهت نیرو قرار دارد. فرمولی که از این قانون برمی‌آید به معادله بنیادین مکانیک کلاسیک معروف است که مطابق آن، شتاب یک جسم برابر است با نیروهای خالص وارده تقسیم بر جرم جسم.این قانون توسط نیوتن به شکل برابری آهنگ تغییر تکانه با نیرو بیان شد:

$\mathbf{F} = {\mathrm{d}\mathbf{p} \over \mathrm{d}t} = {\mathrm{d}(m \mathbf{v}) \over \mathrm{d}t}.$

قانون سوم

سومین قانون می‌گوید که هرگاه جسمی به جسم دیگری نیرو وارد کند، جسم دوم نیز نیرویی به همان بزرگی ولی در سوی مخالف بر جسم اول وارد می‌کند و برآیند کنش هم‌زمان این دو نیرو باعث حرکت شتابدار می‌شود.

خدمات نیوتن

مجموعهٔ قوانین سه‌گانهٔ حرکت و قانون گرانش عمومی، اساس و شالودهٔ فناوری مدرن هستند و با وجود پیدایش فرضیه‌های تازه‌تر از اهمیت آن کاسته نشده است. در کنار فعالیت‌های علمی معمول، نیوتن از مسؤولیت‌های سیاسی نیز رویگردان نبود. او در سال های ۱۶۸۹، ۱۷۰۱ و ۱۷۰۲ م. به نمایندگی مجلس برگزیده شد. اگر چه تنها جمله‌ای که در طول این سه سال در صحن مجلس بر زبان آورد، تقاضای بستن پنجره‌ها بود!

از سال ۱۷۰۳ میلادی تا آخر عمر نیوتن رئیس انجمن سلطنتی بریتانیا و همچنین یکی از اعضای فرهنگستان علوم فرانسه بود.

پیش زمینه تاریخی قانون جهانی گرانش نیوتن

بعد از ارائهٔ قوانین کپلر و کشفیات پر اهمیت گالیله، ریاضیدانان و فیزیکدانان علاقه زیادی به موضوع‌های اخترشناسی پیدا کردند. در این زمینه نظریه‌های مختلفی داده شد. رابرت هوک و ادموند هالی به نظر باقی بودند که نیرویی که سیاره‌ها را به‌طرف خورشید می‌کشد، آنها را در مدار خود نگاه می‌دارد. از این گذشته آنها گمان می‌کردند که این نیرو باید با دور شدن از خورشید و به نسبت مربع فاصله ضعیف شوند. کپلر نیز وجود این نیرو را قبول داشت و تصور می‌کرد که این نیرو به نسبت فاصله ضعیف می‌شود. بنابراین داستان افتادان سیب و توجه نیوتن به گرانش نه تنها واقعی نیست، بلکه شناختن روند تکامل علم را مختل می‌کند. حتی ۵۰ سال قبل ازنیوتن گالیله به شتاب گرانش توجه داشت و آن را بیان کرده بود. اما امتیاز نیوتن در این بود که اثر همهٔ نیروها را تحت قانون کلی توضیح داد و بصورت رازی بیان کرد. علاوه بر آن نیوتن با یک فرض اساسی که قبل از وی به آن توجه نشده بود توانست قانون جهانی گرانش را فرمول بندی کند. وی فرض کرد که جسمی کروی که چگالی آن در هر نقطه به فاصله آن تا مرکز کره بستگی دارد، یک ذرهٔ خارجی را طوری جذب می‌کند که گویی همه جرم آن در مرکز متمرکز شده است. این قضیه توجیه وی را از قوانین حرکت سیارات کامل کرد، زیرا انحراف جزئی خورشید از کرویت واقعی در اینجا قابل صرف نظر کردن است. پس از آنکه نیوتن قانون جهانی گرانش را مطرح کرد، رابرت هوک ادعا کرد که نیوتن کشف قانون گرانش وی را دزدیده و به نام خود ارائه داده است. به همین دلیل مشاجره شدیدی بین نیوتن و هوک در گرفت که موجب رنجش و حتی بیماری نیوتن گردید.

قانون اول نیوتن

هر گاه به جسمی نیرویی وارد نشود و یا برایند صفر گردد اگر جسم ساکن باشد ساکن می ماند اگر با سرعت ثابت در حال حرکت باشد با همان سرغت به حرکتش ادامه می‌دهد .

این قانون تحت عنوان مختلف از جمله، اصل ماند، قانون اینرسی، قانون لختی بیان شده است. طبق قانون اول نیوتن حرکت ویزگی ذاتی اجسم است و در غیاب هرگونه نیروی خارجی جسم همان حالت حرکتی خود را حفظ می‌کند. این قانون طومار فلسفهٔ طبیعی ارسطو را درهم پیچید. زیرا ارسطو گفته بود: برای اینکه یک جسم با سرعت یکنواخت به حرکت خود ادامه دهد، باید پیوسته نیرویی بر آن وارد شود در غیراین صورت به حالت طبیعی خود برمی‌گردد و ساکن می‌شود .

چند مثال:

جسمی را روی کف دست خود قرار دهید و دست را بی حرکت نگاه دارید. این جسم تا زمانیکه روی کف دست شما قرار دارد، همانجا و به همان حالت خواهد ماند، زیرا برایند تمام نیروهای وارد بر آن صفر است .

قانون دوم نیوتن

قانون دوم نیوتن در فیزیک بسیار مهم و اساسی است. هر گاه نیرویی بر یک جسم اثر کند این جسم شتابی می‌گیرد که هم جهت نیرو است و اندازه آن با اندازه نیرو نسبت مستقیم و با جرم جسم نسبت عکس دارد .

F=ma or a=F/m

این قانون که در سال 1679 اولین بار در کتاب Procatinare Unnaturalis Prinicipia Mathematica بوسیله نیوتن منتشر شد به‌عنوان مهم‌ترین کشف در تاریخ علم قلمداد شده است .

معمولاً قانون دوم نیوتن را با استفاده از تغییرا اندازه حرکت تعریف می‌کنند. چون اندازه یکی از مفاهیم بنیادی در فیزیک است، لذا آنرا تعریف کرده و یکبار دیگر با استفاده از به تعریف قانون دوم نیوتن خواهیم پرداخت. اندازه حرکت یا تکانه

اندازه حرکت بصورت حاصلضرب جرم در سرعت یعنی P=mv تعریف می‌شود. بنابر این با توجه به قانون اول نیوتن هنگامی سرعت تغییر می‌کند که نیرویی بر جسم اعمال شود. لذا در غیاب هرگونه نیروی خارجی اندازه حرکت یک جسم ثابت است. بنابر این قانون دوم نیوتن را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد :

نیرو = تغییرات اندازه حرکت

F = dp/dt

در قانون دوم نیوتن سرعت نامتناهی قابل قبول است. چون در قوانین نیوتن خواص فیزیکی ماده مستقل از سرعت آن فرض شده، همچنین زمان نیز یک کمیت مستقل و مطلق است، بنابراین با توجه به سرعت نامتناهی در مدت زمان صفر هر فاصله‌ای قابل پیمودن است. به عبارت دیگر یک شئی در لحظه‌ای خاص می‌تواند در مکانهای مختلفی باشد. هرچند این پدیده هرگز مشاهده نشد، اما فیزیکدانان برای مدتی بیش از دو قرن پذیرای آن بودند .

قانون سوم نیوتن

برای هر کنشی همواره یک واکنش برابر ناهمسو وجود دارد. به عبارت دیگر هرگاه جسم 1 نیرویی به جسم 2 وارد کند، جسم 2 نیز همان مقدار نیرو را در جهت مخالف نیروی دریافتی به جسم یک وارد می‌کند، بطوریکه:

F1=-F2 or F1+F2=0

با توجه به اینکه سرعت نامتناهی طبق قانون دوم قابل قبول بود، قانون سوم همواره و در تمام لحظات برقرار بود. حتی اگر دو جسم در فاصلهٔ دلخواه نسبت به یکدیگر قرار داشته باشند، هر تغییر موضع هر یک از آنها، بلافصله به دیگری منتقل می‌شود. یعنی هم‌زمان دو نقطه از جهان و در واقع تمام جهان را می‌توان تحت تاثیر یک رویداد قرار داد .

گرانش پرتابه‌ای که بطور افقی پرتاب می‌شود، مسیری سهمی شکل را به‌طرف زمین می پیماید و سرانجام به سطح زمین سقوط می‌کند. اما چون زمین به شکل کره استّ، سطح آن انحنا دارد. حال اگر پرتابه‌ای باسرعت زیاد از بالای یک قله پرتاب شود، تحت تاثیر گرانش مسری منحنی را طی خواهد کرد. اگر سرعت این پرتابه به اندازهٔ کافی باشد، می‌تواند یک دایرهٔ کامل را حول زمین طی کند و دائم دور زمین بچرخد.

نیوتن فرض کرد که نیروی گرانش زمین مانند کره‌ای بزرگ و در حال انبساط در همه جهات پراکنده است. بنابراین مساحت این کره برابر است با:

S=4pir^2

وی سپس استدلال کرد که نیروی گرانشی که بر سطح این کره پراکنده شده است، می بایست متناسب با مجذور شعاع آن ضعیف شود. درست مانند شدت نور و صوت. به این ترتیب برای نیوتن آشکار شد که ماه بایستی تحت اثر این نیروی گرانش کشیده شود. سپس استدلال کرد چنانچه ماه با نیروی معینی بوسیله زمین کشیده می‌شود، زمین نیز بایستی با همان اندازه بوسیله ماه کشیده شود. آنگاه نتیجه گرفت که نیروی گرانشی میان هر دو جسمی که در جهان است، مستقیماً متناسب با حاصلضرب جرمهای آنهاست.

این نتیجه را قانون جهانی گرانش می نامند که بصورت زیر بیان می‌شود:

F=GmM/r^2

با گذشت زمان مشخص شد که سیارات و ستارگان از این قانون تبعیت می‌کنند.

نیوتن هیچگاه قوانین خود را بصورت تحلیلی ننوشت، این کار اولین بار توسط اویلر انجام شد.

دستگاه مقایسه‌ای مطلق اتر

با توجه و کمی دقت به قوانین نیوتن مشاهده می‌شود که هنگام مطرح شدن این قوانین یک نکته مهم نادیده گرفته شده است، و آن این است که این قوانین نسبت به کدام دستگاه مقایسه‌ای مطرح شده اند. زیرا در تمام تجربیات مکانیکی از هر نوع که باشند باید وضع نقاط مادی را در لحظهٔ معین نسبت به مکانی خاص در نظر گرفته شود.

نیوتن نظر داده بود که کالبد فضا، در حالت سکون است. یعنی می‌توان از حرکت مطلق سخن گفت. اما در آن زمان اعتقاد عمومی بر این بود که کالبد فضا از اتر (عنصر پنجم ارسطویی) انباشته است. یعنی چنین تصور می‌شد که اتر در فضا مستقر و ساکن است و به هیچ روی حرکت نمی‌کند و همهٔ اجسام در اتر غوطه ورند.

همچنین دانشمندان کلاسیک همواره تاثیر از فاصله دور را امری می پنداشتند که تصور آن دشوار بود، و نیروی گرانش که می‌توانست از فواصل دور اثر می‌کند، نیوتن را به تعجب واداشته بود. نیوتن به منظور توضیح این اثر، عقیده ارسطو را در باره اینکه افلاک از اتر پر شده اند را پذیرفت و فکر می‌کرد که ممکن است گرانش بطریقی توسط اتر منتقل شود. لذا اتر ضمن آنکه دستگاه مقایسه‌ای مطلق بود، وسیلهٔ انتقال گرانش نیز به حساب می‌آمد.

فضا و زمان نیوتن

نیوتن در کتاب اصول فلسفهٔ طبیعی نوشت: زمان مطلق، حقیقی و ریاضی، خود بخود و به علت ماهیت ویژه خود، بطور یکنواخت و بدون ارتباط با هیچ چیز خارجی جریان دارد.

بنابراین از دیدگاه نیوتن زمان یک مقیاس جهانی بود که مستقل از همه اجسام و پدیده‌های فیزیکی وجود داشت. زمان به دلیل ماهیت خود جریان داشت و این جریان وابسته به هیچ چیز دیگری نبود.

همچنین در مورد فضا چنین می‌گوید فضا در ذات خود مطلق و بدون احتیاج به یک چیز خارجی همه جا یکسان و ساکن است.

اینگونه نگرش به مطلق در قوانین نیوتن راهگشای بسیاری از ابهامات مکانیک نیوتنی بود. زمان مطلق، فضا مطلق و حرکت مطلق مواردی بودند که مکانیک نیوتنی بر اساس آنها شکل گرفته بود.

مشکلات قانون گرانش

مهم‌ترین مشکل قوانین نیوتن در قانون جهانی گرانش وی بود و خود نیوتن نیز متوجه آن شده بود. نیوتن دریافت که بر اثر قانون گرانش او، ستارگان باید یکدیگر را جذب کنند و بنابراین اصلاً به نظر نمی‌رسد که ساکن باشند. نیوتن در سال ۱۶۹۲ طی نامه‌ای به ریچارد بنتلی نوشت "که اگر تعداد ستارگان جهان بینهایت نباشد، و این ستارگان در ناحیه‌ای از فضا پراکنده باشند، همگی به یکدیگر برخورد خواهند کرد. اما اکر تعداد نامحدودی ستاره در فضای بیکران به طور کمابش یکسان پراکنده باشند، نقطه مرکزی در کار نخواهد بود تا همه بسوی آن کشیده شوند و بنابراین جهان در هم نخواهد ریخت." این برداشت نیز با یک اشکال اساسی مواجه شد. به‌نظر سیلیجر طبق نظریه نیوتن تعداد خطوط نیرو که از بینهایت آمده و به یک جسم می‌رسد با جرم آن جسم متناسب است. حال اگر جهان نامتناهی باشد و همهٔ اجسام با جسم مزبور در کنش متقابل باشند، شدت جاذبه وارد بر آن بینهایت خواهد شد .

مشکل بعدی قانون گرانش نیوتن این است که طبق این قانون یک جسم به طور نامحدود می‌تواند سایر اجسام را جذب کرده و رشد کند، یعنی جرم یک جسم می‌تواند تا بینهایت افزایش یابد. این نیز با تجربه تطبیق نمی‌کند، زیرا وجود جسمی با جرم بینهایت مشاهده نشده است مشکل بعدی قوانین نیوتن در مورد دستگاه مرجع مطلق بود. همچنان که می دانیم حرکت یک جسم نسبی است، وقتی سخن از جسم در حال حرکت است، نخست باید دید نسبت به چه جسمی یا در واقع در کدام چارچوب در حرکت است. دستگاه‌های مقایسه‌ای در فیزیک دارای اهمیت بسیاری هستند. قوانین نیوتن نسبت به دستگاه مرجع مطلق مطرح شده بود. یعنی در جهان یک چارچوب مرجع مطلق وجود داشت که حرکت همه اجسام نسبت به آن قابل سنجش بود. در واقع همهٔ اجسام در این چارچوب مطلق که آن را "اتر" می نامیدند در حرکت بودند. یعنی ناظر می‌توانست از حرکت نسبی دو جسم صحبت کند یا می‌توانست حرکت مطلق آن را مورد توجه قرار دهد.

منبع:ویکی پدیا

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 9:21 توسط deo |

مکانیک سیالات

مکانیک شاره‌ها یا مکانیک سیالات (به انگلیسی: Fluid mechanics)‏ یکی از شاخه‌های وسیع در مکانیک محیط‌های پیوسته درا تشکیل می‌دهد. مکانیک سیالات هم با همان اصول مربوط به مکانیک جامدات آغاز می‌شود، ولی آن‌چه که سرانجام آن دو را از هم متمایز می‌سازد، این است که سیالات بر خلاف جامدات قادر به تحمل تنش برشی نیست. با دانستن این مسئله معادله‌هایی برای تحلیل حرکت سیالات طرح‌ریزی شده است. این معادلات به احترام ناویه و استوکس دو ریاضی‌دان بریتانیایی و فرانسوی به نام معادلات ناویه-استوکس نامیده می‌شوند. درس مکانیک سیالات از دروس اساسی رشته مهندسی بهداشت محیط می‌باشد.

معادلات حاکم

معادلات اساسی حاکم بر دینامیک سیالات عبارت‌اند از معادله بقای جرم و بقای مومنتم (یا همان معادلات ناویه-استوکس) می‌باشند. اویلر وبرنلی وتبدیل انها به یکدیگر

حل معادلات مکانیک سیالات

با وجود ابداع معادلات حاکم بر دینامیک سیالات که تاریخچهٔ آن به بیش از ۱۵۰ سال می‌رسد، غیر از چند مورد خاص (همانند جریان بر روی صفحه تخت و جریان درون لوله‌ها در حالت آرام) حل تحلیلی برای این معادلات یافت نشده‌است. به جز چند حالت خاص اساسی مکانیک سیالات، بقیهٔ حل‌ها به صورت تجربی استخراج و استفاده می‌شود.

روش دیگر برای حل معادلات استفاده از روش دینامیک سیالات محاسباتی می‌باشد.

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 9:16 توسط deo |

مکانیک

مکانیک یکی از شاخه‌های فیزیک است که به مطالعه حرکات ماده و نیروهایی که باعث آن حرکات می‌شود اقدام می‌کند. دانش مکانیک که بر مبانی متعددی هم‌چون زمان، مکان، نیرو، انرژی، و ماده بنا گردیده است، در مطالعه تمامی شاخه‌ها و شعبه‌های فیزیک، شیمی، زیست شناسی، و مهندسی به کار گرفته می‌شود.

مکانیک مجموعه گسترده‌ای از دانش است که سابقه آن از تاریخ مدون بشری فراتر می‌رود.

دانش مکانیک به دو زمینه اصلی مکانیک کلاسیک و مکانیک کوانتومی بخش می‌شود.

مکانیک کلاسیک

مکانیک کلاسیک (یا مکانیک نیوتنی) بیان ریاضی حرکت و نیرو در پدیده‌های ماکروسکپی طبیعت است. کارهای دانشمندانی مانند تیکو براهه و کپلر و گالیله و به‌ویژه نیوتن این دانش را برپایه‌های نظری قرارداد. بعدها نیز دانشمندانی مانند، دالامبرت، لاگرانژ، همیلتون و ژاکوبی فرمولبندی‌های جدیدی از این مبحث ارائه دادند.

شاخه‌ها

مکانیک کلاسیک به شاخه‌های استاتیک و دینامیک تقسیم می‌شود. که استاتیک بررسی نیروهای اجسام ایستاده است و دینامیک که حرکت ذرات را بررسی می‌کند. در حالت کلی حرکت یک ذره از دو دیدگاه مختلف می‌تواند مورد بررسی قرار گیرد به بیان دیگر می‌توان گفت، بطور کلی دینامیک که در آن حرکت اجسام مورد تجزیه و تحلیل قرار می‌گیرد، شامل دو قسمت سینماتیک و سینتیک است. در بخش سینماتیک از علت حرکت بخشی به میان نمی‌آید و حرکت بدون توجه به عامل ایجاد کننده آن بررسی می‌شود و حرکت بحث بیشتر جنبه هندسی دارد. در بخش سینتیک دلایل حرکت اجسام که همان نیروهای وارد بر جسم پویاست، بررسی می‌شود.

مکانیک کوانتومی

با آن‌که مکانیک کلاسیک توصیف دقیقی از پدیده‌های ماکروسکپی در سرعت‌های بسیار کمتر از سرعت نور به‌دست می‌دهد و در پدیده‌های روزمره وسیله اصلی کار مهندسان و فیزیک‌دانان است، در توضیح پدیده‌های مربوط به سرعت‌های زیاد (نزدیک به سرعت نور) و پدیده‌های میکروسکپی به‌کار نمی‌آید. در قرن بیستم برای رفع این اشکالات رشته مکانیک کوانتومی به‌وجود آمد. پدیده سرعت‌های زیاد را اینشتین با نظریه نسبیت خود توجیه کرد ولی برای حل مشکلات پدیده‌های میکروسکوپی به قوانین و نظریه‌های کاملاً جدیدی احتیاج داریم که در مجموع مکانیک کوانتومی را تشکیل می‌دهند.

منبع:ویکی پدیا

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 9:9 توسط deo |

فیزیک ریاضی

مینهٔ علمی وسیع و قدیمی فیزیک ریاضی (Mathematical physics) به اعمال ریاضیات بر مسائل دانش فیزیک و نیز ابداع شیوه‌های مناسب ریاضی جهت تنظیم نظریّه‌های گوناگون در فیزیک می‌پردازد. در واقع، فیزیک ریاضی را می‌توان بستری گسترده برای فیزیک نظری و فیزیک محاسباتی به حساب‌آورد.

تاریخچه

دیرزمانی‌ست که بشر ریاضیات را در تبیین و روشن‌سازی اشیاء و پدیده‌های جهان فیزیکی به خدمت گرفته است.

+ نوشته شده در جمعه پانزدهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 9:7 توسط deo |

نظریه گراف

نظریه گراف^[۱] شاخه‌ای از ریاضیات است که دربارهٔ گراف‌ها بحث می‌کند. این مبحث در واقع شاخه‌ای از توپولوژی است که با جبر و نظریه ماتریس‌ها پیوند مستحکم و تنگاتنگی دارد. نظریهٔ گراف برخلاف شاخه‌های دیگر ریاضیات نقطهٔ آغاز مشخصی دارد و آن انتشار مقاله‌ای از لئونارد اویلر، ریاضیدان سوئیسی، برای حل مسئله پل‌های کونیگسبرگ در سال ۱۷۳۶ است.^[۲]

پیشرفت‌های اخیر در ریاضیات، به ویژه در کاربردهای آن موجب گسترش چشمگیر نظریهٔ گراف شده است به گونه‌ای که هم‌اکنون نظریهٔ گراف ابزار بسیار مناسبی برای تحقیق در زمینه‌های گوناگون مانند نظریه کدگذاری، تحقیق در عملیات، آمار، شبکه‌های الکتریکی، علوم رایانه، شیمی، زیست‌شناسی، علوم اجتماعی و سایر زمینه‌ها گردیده است.

تاریخچه

برخلاف شاخه‌های دیگر ریاضیات، سیر نظریهٔ گراف آغاز معینی در زمان و مکان دارد و آن مسئلهٔ هفت پل کونیگسبرگ است که در سال ۱۷۳۶ توسط لئونارد اویلر حل شد. در سال ۱۷۵۲ قضیهٔ اویلر برای گراف‌های مسطح ارائه می‌شود. اما پس از آن به مدت تقریباً یک قرن فعالیت اندکی در این زمینه صورت گرفت.

در سال ۱۸۴۷، گوستاو کیرشهف نوع خاصی از گراف‌ها به نام درخت را مورد بررسی قرار داد. کیرشهف این مفهوم را هنگام تعمیم قوانین اهم برای جریان الکتریکی در کاربردهایی که حاوی شبکه‌های الکتریکی بودند به‌کار گرفت. ده سال بعد، آرتور کیلی همین نوع گراف را برای شمارش ایزومرهای متمایز هیدروکربنهایاشباع شدهٔ C_nH_۲n+۲ $\left (n\in\mathbb{Z}^+\right )$ به‌کار برد. ^[۴]

در همین دوران شاهد حضور دو ایدهٔ مهم دیگر در صحنه هستیم. ایدهٔ اول حدس چهار رنگ بود که نخستین بار توسط فرانسیس گوثری در حدود سال ۱۸۵۰ مورد تحقیق قرار گرفت. این مسئله سرانجام در سال ۱۹۷۶، توسط کنث ایپل و ولفگانگ هیکن و با استفاده از یک تحلیل رایانه‌ای پیچیده حل شد.^[۵]

ایدهٔ مهم دوم، دور همیلتونی بود. این دور به افتخار سر ویلیام روآن همیلتون نامگذاری شده است. او این ایده را در سال ۱۸۵۹ برای حل معمای جالبی حاوی یال‌های یک دوازده وجهی منتظم به‌کار گرفت. یافتن جوابی برای این معما چندان دشوار نیست ، ولی ریاضیدانان هنوز در پی یافتن شرایطی لازم و کافی هستند که گراف‌های بیسوی حاوی مسیر یا دورهای همیلتونی را مشخص کنند.

پس از این کارها تا بعد از سال ۱۹۲۰ فعالیت اندکی در این زمینه صورت گرفت. مسئلهٔ مشخص کردن گراف‌های مسطح را کازیمیر کوراتوفسکی، ریاضیدان لهستانی، در سال ۱۹۳۰ حل کرد. نخستین کتاب دربارهٔ نظریهٔ گراف در سال ۱۹۳۶ منتشر شد. این کتاب را ریاضیدان مجار، دنش کونیگ، که خود محقق برجسته‌ای در این زمینه بود، نوشت. از آن پس فعالیت‌های بسیاری در این زمینه صورت گرفته و رایانه نیز در چهار دههٔ اخیر به یاری این فعالیت‌ها آمده است.^[۶]

تعریف

تعریف دقیق‌تر گراف به این صورت است، که گراف مجموعه‌ای از رأس‌ها است، که توسط خانواده‌ای از زوج‌های مرتب که همان یال‌ها هستند به هم مربوط (وصل) شده‌اند.

یال‌ها بر دو نوع ساده و جهت دار هستند، که هر کدام در جای خود کاربردهای بسیاری دارد. مثلاً اگر صرفاً اتصال دو نقطه -مانند اتصال تهران و زنجان با کمک آزادراه- مد نظر شما باشد، کافیست آن دو شهر را با دو نقطه نمایش داده، و اتوبان مزبور را با یالی ساده نمایش دهید. اما اگر بین دو شهر جاده‌ای یکطرفه وجود داشته باشد آنگاه لازمست تا شما با قرار دادن یالی جهت دار مسیر حرکت را در آن جاده مشخص کنید. همچنین برای اینکه فاصله بین دو شهر را در گراف نشان دهید، می‌توانید از گراف وزن دار استفاده کنید و مسافت بین شهرها را با یک عدد بر روی هر یال نشان دهید.

آغاز نظریهٔ گراف به سدهٔ هجدهم بر می‌گردد. اولر ریاضیدان بزرگ مفهوم گراف را برای حل مسئله پل‌های کونیگسبرگ ابداع کرد اما رشد و پویایی این نظریه عمدتاً مربوط به نیم سدهٔ اخیر و با رشد علم انفورماتیک بوده‌است.

مهم‌ترین کاربرد گراف مدل‌سازی پدیده‌های گوناگون و بررسی بر روی آنهاست. با گراف می‌توان به راحتی یک نقشه بسیار بزرگ یا شبکه‌ای عظیم را در درون یک ماتریس به نام ماتریس وقوع گراف ذخیره کرد و یا الگوریتمهای مناسب مانند الگوریتم دایجسترا یا الگوریتم کروسکال و... را بر روی آن اعمال نمود.

یکی از قسمت‌های پرکاربرد نظریهٔ گراف، گراف مسطح است که به بررسی گراف‌هایی می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را به نحوی روی صفحه کشید که یال‌ها جز در محل راس‌ها یکدیگر را قطع نکنند. این نوع گراف در ساخت جاده‌ها و حل مساله کلاسیک و قدیمی سه خانه و سه چاه آب به کار می‌رود.

نظریه گراف یکی از پرکاربردترین نظریه‌ها در شاخه‌های مختلف علوم مهندسی (مانند عمران)، باستان‌شناسی (کشف محدوده یک تمدن) و... است.

روابط میان راس‌های یک گراف را می‌توان با کمک ماتریس بیان کرد.

برای نمایش تصویری گراف‌ها معمولاً از نقطه یا دایره برای کشیدن راس‌ها و از کمان یا خط راست برای کشیدن یال بین راس‌ها استفاده می‌شود.

اندازه گراف

اندازه گراف تعداد یال‌های یک گراف است و به صورت $|E(G)|\,$ بیان می‌شود.

درجه راس‌ها

در نظریه گراف‌ها، درجه یک راس به تعداد یال‌های متصل به آن راس گفته می‌شود. به عبارت دیگر، درجه یک راس تعداد همسایگی (مجاورت)‌های مستقیم یک راس را بیان می‌کند. از آنجا که هر یال در گراف دو راس را به هم وصل می‌کند، مجموع درجه راس‌های یک گراف با دو برابر تعداد یال‌های ان گراف برابر است.

انواع گراف

گراف همبند گرافی است که بین همه ی راسهای آن مسیری وجود داشته باشد.

گراف هی وود(Heawood Graph)

گراف کنزر(Kneser)

گراف کامل

در نظریه گراف، یک گراف کامل، گرافی‌است که بین هر دو راس آن دقیقاً یک یال وجود داشته باشد. یک گراف کامل از مرتبه n، دارای n راس و $\frac{n (n-1)}{2}$ یال است که آن را با $\,k_n$ نشان می‌دهند. یک گراف کامل یک گراف منتظم از درجه n-۱ است.‌

گراف های کاملی که p≥3 قطعاً همیلتونی هستند.

گراف های کاملی که p≥3 و p فرد باشد ( p=2k+1) اویلری هستند، چون درجه ی هر راس زوج است.

گراف پترسن

گراف پترسن گرافی با ۱۰ راس و ۳- منتظم است که به صورت زیر رسم می‌گردد:

گراف دو بخشی

مفهوم شهودی

فرض کنید در یک شرکت صنعتی تعدادی شغل بدون متصدی می‌باشند و تعدادی متقاضی برای این مشاغل اعلام آمادگی نموده‌اند. حال این سوال مطرح می‌شود که آیا می‌توان به هر متقاضی شغلی متناسب او اختصاص داد؟ برای حل چنین مسئله‌ای که به مسئلهٔ تخصیص موسوم است، با استفاده از گراف می‌توان وضعیت‌های خاص را پیاده سازی نمود. بدین ترتیب که گروهی که متقاضی مشاغل هستند در مجموعه‌ای به نام X و مجموعه مشاغل بدون متصدی را در مجموعه‌ای به نام Y قرار می‌دهیم. گراف رسم شده چنین است که به بعضی از اعضای مجموعه X یک یا چند عضو از مجموعه Y توسط یال‌ها وصل می‌نماید. به عبارت دیگر گراف بوجود امدی دارای یالهای xy است که مر متقاضی x را از مجموعه X به شغلهای مناسب y از مجموعه Y متصل می‌نماید. به عبارت دقیقتر هیچ دو راس متعلق به مجموعه X (متفاضیان) یا هیچ دو راس متعلق به مجموعه Y (مشاغل) توسط هیچ یالی به هم متصل نمی‌باشند. چنین گرافی را گراف دوبخشی یا دوپارچه می‌گویند.

تعریف

گراف دوبخشی گرافی است که بتوان مجموعه رئوس آن را به دو مجموعه X و Y چنان افراز نمود که هر یال آن دارای یک انتها در X و یک انتها در Y باشد، به گونه‌ای که هیچ دوراسی در X یا در Y با هم مجاور نباشند. چنین افرازی را دوبخشی کردن گراف می‌نامند.

یادآوری: منظور از افراز یک مجموعه چون A به چند مجموعه، تقسیم مجموعه A به چند مجموعه ناتهی دیگر است که باهم اشتراکی نداشته باشند و اجتماع همه آنها برابر مجموعه A باشد. و در اینجا اگر V به عنوان مجموعه رئوس باشد افراز V به دو مجموعه X و Y (ناتهی) به این صورت است که: X $\bigcup$ Y = V وX $\bigcap$ Y = $\varnothing$
مثال

به عنوان مثال گراف زیر یک گراف دو بخشی است:

مثالی از يک گراف دو بخشی

گراف ساده

گراف ساده: هر گراف G زوج مرتبی مانند (V,E) است که در آن V مجموعه‌ای متناهی و ناتهی است و E زیرمجموعه‌ای از تمام زیرمجموعه‌های دو عضوی V می‌باشد. اعضای V را رأسهای G و اعضای E را یالهای G می‌نامیم. به بیان ساده تر بین دو رأس یک گراف ساده حداکثر یک یال وجود دارد و هیچ طوقه‌ای (یعنی یالی که رأس را به خودش وصل می‌کند) نیز وجود نداشته باشد.^[۷]

گراف همیلتونی

گراف چرخ

هر گراف G که دارای n راس باشد کهn≥۴ و یکی از رئوس از درجهٔ n-۱ و بقیه از درجهٔ سه باشند، را یک گراف چرخ می‌نامیم- مانند مثال‌های زیر:

گراف چرخn راسی را با _nW نمایش می‌دهیم.

گراف چندگانه

گراف چندگانه: هرگاه بین دو رأس متمایز از یک گراف بیش از یک یال وجود داشته باشد، آن را یک گراف چند گانه می‌گوییم.

گراف مکعبی

یک گراف «k مکعب» (k-Cube) گرافی است که رئوس آنk تایی از «صفر» و «یک» هستند که دو رأس آن به یکدیگر متصل هستند اگر و فقط اگر دو رأسشان دقیقاً در یک مؤلفه با یکدیگر تفاوت داشته باشند. به‌عبارت دیگر اگر kعددی طبیعی باشد منظور از «kمکعب» گرافی است که رأس‌های آن همهٔ دنباله‌های رقمی از «صفر» و «یک» هستند و دو رأس در این گراف مجاور بوده هرگاه دنباله‌های متناظرشان دقیقاً در یک مؤلفه اختلاف داشته باشند (شکل ۱).

می‌توان نشان داد که یک گراف «k مکعب» (k-Cube) دارای ویژگی‌هایی نظیر ذیل است:

تعداد رؤوس =۲^k
تعداد یال‌ها=k*۲^(k-۱)
گرافی «دوبخشی» (Bipartite) است.

گراف جهت دار

گراف جهت دار: هر گراف G زوج مرتبی مانند (V,E) است که در آن V مجموعه‌ای متناهی و ناتهی است و E زیرمجموعه‌ای از مجموعهٔ تمام زوج مرتب‌های متشکل از اعضای V است.

گراف جهتدارو کاربردهای آن

گراف جهت دارو کاربردهای آنگراف جهت دار D، یک سه تایی مرتب(O(D) و A(D) و (V(D)است که تشکیل شده از یک مجموعه ناتهی V(D) از راسها ویک مجموعه (D) A مجزای از V(D)از کمانها و یک تابع وقوع O(D)که به هر کمان D یک زوج مرتب از راسهای D- که الزاماً متمایز نیستند- را نسبت می‌دهد. اگر a یک کمان وu,v دو راس باشند به طوری که(u,v) =(a)O (D)، آنگاه میگوئیم که u,a را به v وصل کرده است؛ u، دم v,a سرa نامیده می‌شود.

گراف مسطح

گراف مسطح: گراف مسطح گرافی است که می‌توان آن را در یک صفحه محاط کرد به گونه‌ای که یال‌هایش یکدیگر را تنها در راس‌ها قطع کنند. به این گراف هامنی نیز گفته می‌شود.

در بین گراف های کامل فقط گراف هایی با تعداد راس مساوی یا کمتر از 5 (p≤5) را، می توان به صورت مسطح رسم کرد.

گراف وزن دار

گراف وزن دار: در یک گراف وزن دار، به هر یال یک وزن (عدد) نسبت داده می‌شود. معمولاً اعداد حقیقی به عنوان وزن یال‌ها استفاده می‌شوند. اما بسیاری از الگوریتم‌های پر کاربرد فقط برای گراف‌هایی که دارای وزن صحیح یا مثبت هستند طراحی شده‌اند.

خصوصیات گراف‌های خاص

اگر درجهٔ همهٔ راس‌ها در گراف ساده با هم برابر و برابر بزرگترین درجهٔ ممکن (یعنی p-۱) باشد، گراف مورد نظر منتظم کامل است. در این گونه گراف‌ها، رابطهٔ میان رأس‌ها و یال‌ها چنین است:

$q=p(p-1)/2 \!$

که در آن $p \!$ تعداد راسها، و $q \!$ تعداد یالها است.

اگر گراف همبند باشد (یعنی از هر نقطه بتوان به یک نقطه دلخواه دیگر رسید) ولی دور نداشته باشد (یعنی هیچ نقطه‌ای از دوراه به نقطهٔ بعدی نرسد) می‌گویند گراف درختی است. در اینگونه گراف‌ها فرمول زیر صدق می‌کند (شرط لازم):

$p=q+1 \!$

که در آن $p \!$ تعداد رأس‌ها، و $q \!$ تعداد یال‌ها است.^[۸]

گراف اویلری و همیلتونی:گاهی اوقات ما می‌خواهیم در یک گراف حرکت کنیم. به اینصورت که از راسی به راسی دیگر برویم. در اینصورت ممکن است برای ما مهم باشد که از روی یال یا راس تکراری حرکت نکنیم(مشابه مسالهٔ فروشندهٔ دوره گرد). این مساله در صرفه جویی زمان و هزینه هم مهم است.(یعنی مبحث بهینه سازی). دراینجا دو موضوع گرافهای اویلری(دور زدن در گراف بدون یال تکراری)و همیلتونی(دور زدن بدون راس تکراری) مطرح می‌شود. براحتی می‌توان بررسی کرد که راسهای گراف اویلری باید درجهٔ زوج داشته باشند. اما اینکه شرایط کامل لازم و کافی برای همیلتونی بودن یک گراف چیست هنوزحل نشده مانده‌است.

گراف‌های کاربردی

گراف بازه‌ها

کاربردها

از گراف‌ها برای حل مسایل زیادی در ریاضیات و علوم کامپیوتر استفاده می‌شود. ساختارهای زیادی را می‌توان به کمک گراف‌ها به نمایش در آورد. برای مثال برای نمایش چگونگی رابطه وب سایت‌ها به یکدیگر می‌توان از گراف جهت دار استفاده کرد. به این صورت که هر وب سایت را به یک راس در گراف تبدیل می‌کنیم و در صورتیکه در این وب سایت لینکی به وب سایت دیگری بود، یک یال جهت دار از این راس به راسی که وب سایت دیگر را نمایش می‌دهد وصل می‌کنیم.

از گراف‌ها همچنین در شبکه‌ها، طراحی مدارهای الکتریکی، اصلاح هندسی خیابان‌ها برای حل مشکل ترافیک، و.... استفاده می‌شود. مهم‌ترین کاربرد گراف مدل‌سازی پدیده‌های گوناگون و بررسی بر روی آنهاست. با گراف می‌توان به راحتی یک نقشه بسیار بزرگ یا شبکه‌ای عظیم را در درون یک ماتریس به نام ماتریس وقوع گراف ذخیره کرد و یا الگوریتمهای مناسب مانند الگوریتم دایسترا یا الگوریتم کروسکال و... را بر روی آن اعمال نمود. در این جا به بررسی گراف‌هایی می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را به نحوی روی صفحه کشید که یال‌ها جز در محل راس‌ها یکدیگر را قطع نکنند. این نوع گراف در ساخت جاده‌ها و حل مساله کلاسیک و قدیمی سه خانه و سه چاه آب به کار می‌رود.

کاربرد گراف بازه‌ها از گراف‌ها برای حل مسایل زیادی در ریاضیات و علوم کامپیوتر استفاده می‌شود. ساختارهای زیادی را می‌توان به کمک گراف‌ها به نمایش در آورد.

درخت و ماتریس درخت در رشته‌های مختلفی مانند شیمی مهندسی برق و علم محاسبه کاربرد دارد. کیرشهف در سال ۱۸۴۷ میلادی هنگام حل دستگاههای معادلات خطی مربوط به شبکه‌های الکتریکی درختها را کشف و نظریه درختها را بارور کرد. کیلی در سال ۱۸۵۷ میلادی درختها را در ارتباط با شمارش ایزومرهای مختلف هیدروکربنها کشف کرد وقتی مثلا می‌گوییم در ایزومر مختلف c4h۱۰ وجود دارد منظورمان این است که دو درخت متفاوت با ۱۴ راس وجود دارند که درجه ۴ راس از این ۱۴ راس جهار و درجه هر یک از ۱۰ راس باقیمانده یک است. اگر هزینه کشیدن مثلا راه آهن بین هر دو شهر ازp شهر مفروض مشخص باشد ارزانترین شبکه‌ای که این p شهر را به هم وصل می‌کند با مفهوم یک درخت از مرتبه p ارتباط نزدیک دارد. به جای مساله مربوط به راه آهن می‌توان وضعیت مربوط به شبکه‌های برق رسانی و لوله کشی نفت و لوکشی گاز و ایجاد کانالهای آبرسانی را در نظر گرفت. برای تعیین یک شبکه با نازلترین هزینه از قاعده‌ای به نام الگوریتم صرفه جویی استفاده می‌شود که کاربردهای فراوان دارد. از گرافها می‌توان به عنوان کدهای کمکی نام برد که به DVB Playerها در بالا بردن قابلیت‌های آنها کمک می‌کنند. گراف‌ها دارایی مزایای مختلفی هستند که شفاف تر کردن و واضحتر کردن تصویر و کاهش مصرف CPU به عنوان یکی از اصلی‌ترین مزایای آنها بشمار می‌رود.

از ویکی پدیا

+ نوشته شده در پنجشنبه چهاردهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 13:0 توسط deo |

رمز نگاری

رمزنگاری دانشی است که به بررسی و شناختِ اصول و روش‌های انتقال یا ذخیرهٔ اطلاعات به صورت امن (حتی اگر مسیر انتقال اطلاعات و کانال‌های ارتباطی یا محل ذخیره اطلاعات ناامن باشند) می‌پردازد.

رمزنگاری استفاده از تکنیکهای ریاضی، برای برقراری امنیت اطلاعات است. دراصل رمزنگاری دانش تغییر دادن متن پیام یا اطلاعات به کمک کلید رمز و با استفاده از یک الگوریتم رمز است، به صورتی که تنها شخصی که از کلید و الگوریتم مطلع است قادر به استخراج اطلاعات اصلی از اطلاعات رمز شده باشد و شخصی که از یکی یا هر دوی آن‌ها اطلاع ندارد، نتواند به اطلاعات دسترسی پیدا کند. دانش رمزنگاری بر پایه مقدمات بسیاری از قبیل تئوری اطلاعات، نظریه اعداد و آمار بنا شده‌است و امروزه به طور خاص در علم مخابرات مورد بررسی و استفاده قرار می‌گیرد. معادل رمزنگاری در زبان انگلیسی کلمه Cryptography است، که برگرفته از لغات یونانی kryptos به مفهوم «محرمانه» و graphien به معنای «نوشتن» است.

تاریخچه

رمزنگاری سابقه‎ای طولانی و جذاب دارد، که اولین کاربرد آن به ۴۰۰۰ سال پیش در مصر باستان بازمی‏گردد.

رمزنگاری، پنهان‌نگاری، کدگذاری

در رمزنگاری، وجود اطلاعات یا ارسال شدن پیام به هیچ وجه مخفی نمی‌باشد، بلکه ذخیره اطلاعات یا ارسال پیام مشخص است، اما تنها افراد مورد نظر می‌توانند اطلاعات اصلی را بازیابی کنند. بالعکس در پنهان‌نگاری، اصل وجود اطلاعات یا ارسال پیام محرمانه، مخفی نگاه داشته می‌شود و غیر از طرف ارسال‌کننده و طرف دریافت‌کننده کسی از ارسال پیام آگاه نمی‌شود.

در رمزنگاری محتویات یک متن به صورت حرف به حرف و در بعضی موارد بیت به بیت تغییر داده می‌شود و هدف تغییر محتوای متن است نه تغییر ساختار زبان‌شناختی آن. در مقابل کدگذاری تبدیلی است که کلمه‌ای را با یک کلمه یا نماد دیگر جایگزین می‌کند و ساختار زبان‌شناختی متن را تغییر می‌دهد.

ریشهٔ واژهٔ Cryptography برگرفته از یونانی به معنای «محرمانه نوشتن متون» است. رمزنگاری پیشینهٔ طولانی ودرخشان دارد که به هزاران سال قبل برمی گردد. متخصصین رمزنگاری بین رمز وکد تمایز قائل می‌شوند. رمز عبارتست از تبدیل کاراکتر به کاراکتر یا بیت به بیت بدون آن که به محتویات زبان شناختی آن پیام توجه شود. در طرف مقابل، کد تبدیلی است که کلمه‌ای را با یک کلمه یا علامت دیگر جایگزین می‌کند. امروزه از کدها استفادهٔ چندانی نمی‌شود اگر چه استفاده از آن پیشینهٔ طولانی و پرسابقه‌ای دارد. موفق‌ترین کدهایی که تاکنون نوشته شده ابداع شده‌اند توسط ارتش ایالات متحده و در خلال جنگ جهانی دوم در اقیانوس آرام بکار گرفته شد.

اصول ششگانه کرشُهف

آگوست کرشُهف شهرت خود را از پژوهشهای زبانشناسی و کتابهایی که در این خصوص و زبان ولاپوک نوشته بود بدست آورد. او در سال ۱۸۸۳ دو مقاله با عنوان «رمز نگاری نظامی» منتشر کرد. در این دو مقاله شش اصل اساسی وجود داشت که اصل دوم آن به عنوان یکی از قوانین رمز نگاری هنوز هم مورد استفاده دانشمندان در رمز نگاری پیشرفته‌است:

سیستم رمزنگاری اگر نه به لحاظ تئوری که در عمل غیر قابل شکست باشد.
سیستم رمز نگاری باید هیچ نکته پنهان و محرمانه‌ای نداشته باشد. بلکه تنها چیزی که سری است کلید رمز است.
کلید رمز باید به گونه‌ای قابل انتخاب باشد که اولاً بتوان براحتی آن را عوض کرد و ثانیاً بتوان آنرا به خاطر سپرد و نیازی به یاداشت کردن کلید رمز نباشد.
متون رمز نگاری باید از طریق خطوط تلگراف قابل مخابره باشند.
دستگاه رمز نگاری یا اسناد رمز شده باید توسط یکنفر قابل حمل و نقل باشد.
سیستم رمزنگاری باید به سهولت قابل راه اندازی باشد.

رمزنگاری پیشرفته

با پدید آمدن رایانه‌ها و افزایش قدرت محاسباتی آنها، دانش رمزنگاری وارد حوزهٔ علوم رایانه گردید و این پدیده، موجب بروز سه تغییر مهم در مسائل رمزنگاری شد:

وجود قدرت محاسباتی بالا این امکان را پدید آورد که روش‌های پیچیده‌تر و مؤثرتری برای رمزنگاری به وجود آید.
روش‌های رمزنگاری که تا قبل از آن اصولاً برای رمز کردن پیام به کار می‌رفتند، کاربردهای جدید و متعددی پیدا کردند.
تا قبل از آن، رمزنگاری عمدتاً روی اطلاعات متنی و با استفاده از حروف الفبا انجام می‌گرفت؛ اما ورود رایانه باعث شد که رمزنگاری روی انواع اطلاعات و بر مبنای بیت انجام شود.

تعاریف و اصطلاحات

عناصر مهمی که در رمزنگاری مورد استفاده قرار می‌گیرند به شرح زیر می‌باشد:

متن آشکار

پیام و اطلاعات را در حالت اصلی و قبل از تبدیل شدن به حالت رمز، متن آشکار یا اختصاراً پیام می‌نامند. در این حالت اطلاعات قابل فهم توسط انسان است.

متن رمز

به پیام و اطلاعات بعد از درآمدن به حالت رمز، گفته می‌شود. اطلاعات رمز شده توسط انسان قابل فهم نیست.

رمزگذاری (رمز کردن)

عملیاتی است که با استفاده از کلید رمز، پیام را به رمز تبدیل می‌کند.

رمزگشایی (بازکردن رمز)

عملیاتی است که با استفاده از کلید رمز، پیام رمز شده را به پیام اصلی باز می‌گرداند. از نظر ریاضی، این الگوریتم عکس الگوریتم رمز کردن است.

کلید رمز

اطلاعاتی معمولاً عددی است که به عنوان پارامتر ورودی به الگوریتم رمز داده می‌شود و عملیات رمزگذاری و رمزگشایی با استفاده از آن انجام می‌گیرد. انواع مختلفی از کلیدهای رمز در رمزنگاری تعریف و استفاده می‌شود.

رمزنگاری دانش گسترده‌ای است که کاربردهای متنوعی دارد. در این حوزهٔ وسیع، تعاریف زیر از اهمیت ویژه‌ای برخوردار هستند:

سرویس رمزنگاری

به طور کلی، سرویس رمزنگاری، به قابلیت و امکانی اطلاق می‌شود که بر اساس فنون رمزنگاری حاصل می‌گردد. قبل از ورود رایانه‌ها به حوزهٔ رمزنگاری، تقریباً کاربرد رمزنگاری محدود به رمز کردن پیام و پنهان کردن مفاد آن می‌شده‌است. اما در رمزنگاری پیشرفته سرویس‌های مختلفی از جمله موارد زیر ارائه گردیده‌است:

حفظ محرمانگی یا امنیت محتوا^∗: ارسال یا ذخیره اطلاعات به نحوی که تنها افراد مجاز بتوانند از محتوای آن مطلع شوند، که همان سرویس اصلی و اولیهٔ پنهان کردن مفاد پیام است.
حفظ صحت داده‌ها یا سلامت محتوا ^∗

به معنای ایجاد اطمینان از صحت اطلاعات و عدم تغییر محتوای اولیهٔ آن در حین ارسال است. تغییر محتوای اولیهٔ اطلاعات ممکن است به صورت اتفاقی (در اثر مشکلات مسیر ارسال) و یا به صورت عمدی باشد.

احراز هویت یا اصالت سنجی محتوا^∗

به معنای تشخیص و ایجاد اطمینان از هویت ارسال‌کننده اطلاعات و عدم امکان جعل هویت افراد می‌باشد.

عدم انکار^∗

به این معنی است که ارسال‌کنندهٔ اطلاعات نتواند در آینده ارسال آن را انکار یا مفاد آن را تکذیب نماید.

چهار مورد بالا، سرویس‌های اصلی رمزنگاری تلقی می‌شوند و دیگر اهداف و سرویس‌های رمزنگاری، با ترکیب چهار مورد بالا قابل حصول می‌باشند.

این سرویس‌ها مفاهیم جامعی هستند و می‌توانند برای کاربردهای مختلف پیاده‌سازی و استفاده شوند. به عنوان مثال سرویس اصالت محتوا هم در معاملات تجاری اهمیت دارد و هم در مسائل نظامی و سیاسی مورد استفاده قرار می‌گیرد. برای ارائه کردن هر یک از سرویس‌های رمزنگاری، بسته به نوع کاربرد، از پروتکل‌های مختلف رمزنگاری استفاده می‌شود.

پروتکل رمزنگاری

به طور کلی، یک پروتکل رمزنگاری، مجموعه‌ای از قواعد و روابط ریاضی است که چگونگی ترکیب کردن الگوریتم‌های رمزنگاری و استفاده از آن‌ها به منظور ارائهٔ یک سرویس رمزنگاری خاص در یک کاربرد خاص را فراهم می‌سازد.

معمولاً یک پروتکل رمزنگاری مشخص می‌کند که

اطلاعات موجود در چه قالبی باید قرار گیرند
چه روشی برای تبدیل اطلاعات به عناصر ریاضی باید اجرا شود
کدامیک از الگوریتم‌های رمزنگاری و با کدام پارامترها باید مورد استفاده قرار گیرند
روابط ریاضی چگونه به اطلاعات عددی اعمال شوند
چه اطلاعاتی باید بین طرف ارسال‌کننده و دریافت‌کننده رد و بدل شود
چه مکانیسم ارتباطی برای انتقال اطلاعات مورد نیاز است

به عنوان مثال می‌توان به پروتکل تبادل کلید دیفی-هلمن^∗ برای ایجاد و تبادل کلید رمز مشترک بین دو طرف اشاره نمود.

الگوریتم رمزنگاری

الگوریتم رمزنگاری، به هر الگوریتم یا تابع ریاضی گفته می‌شود که به علت دارا بودن خواص مورد نیاز در رمزنگاری، در پروتکل‌های رمزنگاری مورد استفاده قرار گیرد. اصطلاح الگوریتم رمزنگاری یک مفهوم جامع است و لازم نیست هر الگوریتم از این دسته، به طور مستقیم برای رمزگذاری اطلاعات مورد استفاده قرار گیرد، بلکه صرفاً وجود کاربرد مربوط به رمزنگاری مد نظر است.

در گذشته سازمان‌ها و شرکت‌هایی که نیاز به رمزگذاری یا سرویس‌های دیگر رمزنگاری داشتند، الگوریتم رمزنگاری منحصربه‌فردی را طراحی می‌نمودند. به مرور زمان مشخص گردید که گاهی ضعف‌های امنیتی بزرگی در این الگوریتم‌ها وجود دارد که موجب سهولت شکسته شدن رمز می‌شود. به همین دلیل امروزه رمزنگاری مبتنی بر پنهان نگاه داشتن الگوریتم رمزنگاری منسوخ شده‌است و در روش‌های جدید رمزنگاری، فرض بر این است که اطلاعات کامل الگوریتم رمزنگاری منتشر شده‌است و آنچه پنهان است فقط کلید رمز است.

بنا بر این تمام امنیت حاصل شده از الگوریتم‌ها و پروتکل‌های رمزنگاری استاندارد، متکی به امنیت و پنهان ماندن کلید رمز است و جزئیات کامل این الگوریتم‌ها و پروتکل‌ها برای عموم منتشر می‌گردد.

بر مبنای تعریف فوق، توابع و الگوریتم‌های مورد استفاده در رمزنگاری به دسته‌های کلی زیر تقسیم می‌شوند:

توابع بدون کلید
- توابع درهم‌ساز^∗
- تبدیل‌های یک‌طرفه^∗
توابع مبتنی بر کلید
- الگوریتم‌های کلید متقارن
  - الگوریتم‌های رمز قالبی
  - الگوریتم‌های رمز دنباله‌ای
  - توابع تصدیق پیام^∗
- الگوریتم‌های کلید نامتقارن
  - الگوریتم‌های مبتنی بر تجزیهٔ اعداد صحیح
  - الگوریتم‌های مبتنی بر لگاریتم گسسته
  - الگوریتم‌های مبتنی بر منحنی‌های بیضوی
- الگوریتم‌های امضای رقومی^∗

الگوریتمهای رمزنگاری بسیار متعدد هستند، اما تنها تعداد اندکی از آن‌ها به صورت استاندارد درآمده‌اند.

رمزنگاری کلید متقارن

رمزنگاری کلید متقارن^∗ یا تک کلیدی، به آن دسته از الگوریتم‌ها، پروتکل‌ها و سیستم‌های رمزنگاری گفته می‌شود که در آن هر دو طرف رد و بدل اطلاعات از یک کلید رمز یکسان برای عملیات رمزگذاری و رمزگشایی استفاده می‌کنند. در این قبیل سیستم‌ها، یا کلیدهای رمزگذاری و رمزگشایی یکسان هستند و یا با رابطه‌ای بسیار ساده از یکدیگر قابل استخراج می‌باشند و رمزگذاری و رمزگشایی اطلاعات نیز دو فرایند معکوس یکدیگر می‌باشند.

واضح است که در این نوع از رمزنگاری، باید یک کلید رمز مشترک بین دو طرف تعریف گردد. چون کلید رمز باید کاملاً محرمانه باقی بماند، برای ایجاد و رد و بدل کلید رمز مشترک باید از کانال امن استفاده نمود یا از روش‌های رمزنگاری نامتقارن استفاده کرد. نیاز به وجود یک کلید رمز به ازای هر دو نفرِ درگیر در رمزنگاری متقارن، موجب بروز مشکلاتی در مدیریت کلیدهای رمز می‌گردد.

رمزنگاری کلید نامتقارن

رمزنگاری کلید نامتقارن^∗، در ابتدا با هدف حل مشکل انتقال کلید در روش متقارن و در قالب پروتکل تبادل کلید دیفی-هلمن پیشنهاد شد. در این نوع از رمزنگاری، به جای یک کلید مشترک، از یک زوج کلید به نام‌های کلید عمومی و کلید خصوصی استفاده می‌شود. کلید خصوصی تنها در اختیار دارندهٔ آن قرار دارد و امنیت رمزنگاری به محرمانه بودن کلید خصوصی بستگی دارد. کلید عمومی در اختیار کلیهٔ کسانی که با دارندهٔ آن در ارتباط هستند قرار داده می‌شود.

به مرور زمان، به غیر از حل مشکل انتقال کلید در روش متقارن، کاربردهای متعددی برای این نوع از رمزنگاری مطرح گردیده‌است. در سیستم‌های رمزنگاری نامتقارن، بسته به کاربرد و پروتکل مورد نظر، گاهی از کلید عمومی برای رمزگذاری و از کلید خصوصی برای رمزگشایی استفاده می‌شود و گاهی نیز، بر عکس، کلید خصوصی برای رمزگذاری و کلید عمومی برای رمزگشایی به کار می‌رود.

دو کلید عمومی و خصوصی با یکدیگر متفاوت هستند و با استفاده از روابط خاص ریاضی محاسبه می‌گردند. رابطهٔ ریاضی بین این دو کلید به گونه‌ای است که کشف کلید خصوصی با در اختیار داشتن کلید عمومی، عملاً ناممکن است.

مقایسه رمزنگاری کلید متقارن و کلید نامتقارن

‏ اصولاً رمزنگاری کلید متقارن و کلید نامتقارن دارای دو ماهیت متفاوت هستند و کاربردهای متفاوتی نیز دارند. بنا بر این مقایسهٔ این دو نوع رمزنگاری بدون توجه به کاربرد و سیستم مورد نظر کار دقیقی نخواهد بود. اما اگر معیار مقایسه، به طور خاص، حجم و زمان محاسبات مورد نیاز باشد، باید گفت که با در نظر گرفتن مقیاس امنیتی معادل، الگوریتم‌های رمزنگاری متقارن خیلی سریع‌تر از الگوریتم‌های رمزنگاری نامتقارن می‌باشند.

تجزیه و تحلیل رمز

تجزیه و تحلیل رمز^∗ یا شکستن رمز، به کلیهٔ اقدامات مبتنی بر اصول ریاضی و علمی اطلاق می‌گردد که هدف آن از بین بردن امنیت رمزنگاری و در نهایت بازکردن رمز و دستیابی به اطلاعات اصلی باشد. در تجزیه و تحلیل رمز، سعی می‌شود تا با بررسی جزئیات مربوط به الگوریتم رمز و یا پروتکل رمزنگاری مورد استفاده و به کار گرفتن هرگونه اطلاعات جانبی موجود، ضعف‌های امنیتی احتمالی موجود در سیستم رمزنگاری یافته شود و از این طریق به نحوی کلید رمز به دست آمده و یا محتوای اطلاعات رمز شده استخراج گردد.

تجزیه و تحلیل رمز، گاهی به منظور شکستن امنیت یک سیستم رمزنگاری و به عنوان خرابکاری و یک فعالیت ضد امنیتی انجام می‌شود و گاهی هم به منظور ارزیابی یک پروتکل یا الگوریتم رمزنگاری و برای کشف ضعف‌ها و آسیب‌پذیری‌های احتمالی آن صورت می‌پذیرد. به همین دلیل، تجزیه و تحلیل رمز، ذاتاً یک فعالیت خصومت‌آمیز به حساب نمی‌آید؛ اما معمولاً قسمت ارزیابی و کشف آسیب‌پذیری را به عنوان جزئی از عملیات لازم و ضروری در هنگام طراحی الگوریتم‌ها و پروتکل‌های جدید به حساب می‌آورند و در نتیجه تجزیه و تحلیل رمز بیشتر فعالیت‌های خرابکارانه و ضد امنیتی را به ذهن متبادر می‌سازد. با توجه به همین مطلب از اصطلاح حملات تحلیل رمز^∗ برای اشاره به چنین فعالیت‌هایی استفاده می‌شود.

تحلیل رمز، در اصل اشاره به بررسی ریاضی الگوریتم (یا پروتکل) و کشف ضعف‌های احتمالی آن دارد؛ اما در خیلی از موارد فعالیت خرابکارانه، به جای اصول و مبنای ریاضی، به بررسی یک پیاده‌سازی خاص آن الگوریتم (یا پروتکل) در یک کاربرد خاص می‌پردازد و با استفاده از امکانات مختلف سعی در شکستن رمز و یافتن کلید رمز می‌نماید. به این دسته از اقدامات خرابکارانه، حملات جانبی^∗ گفته می‌شود.

رمزهای جانشینی

در رمز نگاری جانشینی هر حرف یا گروهی از حروف بایک حرف یا گروهی دیگراز حروف جابجا می‌شوند تا شکل پیام بهم بریزد. یکی از قدیمی‌ترین رمزهای شناخته شده روش رمز نگاری سزار است که ابداع آن به ژولیوس سزار نسبت داده می‌شود. در این روش حرف a به d تبدیل می‌شود bبه c، e به fوبه همین ترتیب تاz که با حروفc جایگزین می‌شوند.

افزونگی

اولین اصل آن است که تمام پیامهای رمز شده بایدشامل مقداری«افزونگی»[داده‌های زائد]باشندبه عبارت دیگر لزومی ندارد که اطلاعات واقعی به همان گونه که هستند رمز و ارسال شوند. یک مثال می‌تواند به فهم دلیل این نیاز کمک کند. فرض کنید یک شرکت به نام TCP با۶۰۰۰۰کالااز طریق سیستم پست الکترونیکی سفارش خرید می‌پذیرد. برنامه نویسان شرکت TCP به خیال آن که برنامه‌های موثر و کار آمدی می‌نویسند پیامهای سفارش کالا را مشتمل بر ۱۶بایت نام مشتری و به دنبال آن سه بایت فیلد داده (شامل یک بایت برای تعدادکالا ودو بایت برای شمارهٔ کالا)در نظر می‌گیرد که سه بایت آخر توسط یک کلید بسیار طولانی رمزنگاری می‌شود واین کلید را فقط مشتری و شرکت TCP می‌داند.

تازگی پیامها

دومین اصل اساسی در رمزنگاری آن است که باید محاسباتی صورت بگیرد تا مطمئن شویم هرپیام دریافتی تازه و جدید است یا به عبارتی اخیراً فرستاده شده‌است این بررسی برای جلوگیری از ارسال مجدد پیام‌های قدیمی توسط یک اخلالگر فعّال الزامی است اگر چنین بررسی‌هایی انجام نشود کارمند اخراجی ما قادر است با ایجاد یک انشعاب مخفی از خط تلفن پیام‌های معتبری را که قبلاً ارسال شده مکرراً ارسال نماید، حتی اگر نداند محتوای ان چیست.

راهکاری برای ایجاد تازگی پیام

یک چنین محاسبه‌ای را می‌توان با قرار دادن یک مهر زمان در پیام‌ها پیش بینی کرد به نحوی که پیام‌ها مثلاً برای ده ثانیه معتبر باشد گیرندهٔ پیام می‌تواند آن را برای حدود ده ثانیه نگه دارد تا بتواند پیام‌های جدید را با آن مقایسه کرده و نسخه‌های تکراری را که دارای مهر زمان هستند به عنوان پیام‌های قدیمی شناخته و حذف خواهند شد.

رمزنگاری به صورت سخت‌افزاری

الگوریتم‌های رمزنگاری رامی توان هم به صورت سخت‌افزاری(به منظورسرعت بالاتر) وهم به صورت نرم‌افزاری (برای انعطاف پذیری بیشتر) پیاده سازی کرد روشهای جانشینی وجایگشتی می‌توانند با یک مدار سادهٔ الکترونیکی پیاده سازی شوند. p-box ابزاری است که برای جایگشت بیتهای یک ورودی هشت بیتی کاربرد دارد. بود با سیم بندی و برنامه ریزی درونی این p-box قادراست هر گونه جایگشت بیتی راعملاً با سرعتی نزدیک به سرعت نور انجام بدهد چرا که هیچ گونه محاسبه‌ای لازم نیست وفقط تأخیر انتشار سیگنال وجود دارد. این طراحی از اصل کرکهف تبعیت می‌کند یعنی:حمله کننده از روش عمومی جایگشت بیت‌ها مطلّع است آن چه که او از آن خبر ندارد آن است که کدام بیت به کدام بیت نگاشته می‌شود کلید رمز همین است.

برخی اصطلاحات

در لیست زیر با توجه به ارتباط مستقیم علم رمزنگاری یا همان Cryptography به برخی از اصطلاحات که در بحث امنیت شبکه و کامپیوتر وجود دارند اشاره شده‌است.

Encryption

در علم cryptography به پنهان سازی اطلاعات گفته می‌شود.

Decryption

معکوس encryption است و در crypto به آشکار سازی اطلاعات پنهان شده گفته می‌شود.

Plain text

به متنی گفته می‌شود که معنای آن بدون تغییر خاصی قابل درک است.

Cipher

به روشی برای تبدیل plain text به متنی که معنای آن پنهان باشد cipher گفته می‌شود.

Cryptanalysis

به هنر شکستن متون cipher شده گفته می‌شود.

Intruder

در لغت به معنای مزاحم است ولی در اینجا به معنای کسی است که یک کپی از cipher text دارد و تمایل به شکستن رمز دارد. منظور از شکستن رمز یعنی decrypt کردن آن متن که خود دو نوع است activeintruder که می‌تواند اطلاعات را روی خط عوض کند و تغییر دهد و passive intruder که فقط می‌تواند اطلاعات روی خط را داشته باشد و قابلیت تغییر آنها را ندارد.

Protocol

به روش و یا قرار دادی که بین دو یا چند نفر برای تبادل اطلاعات گذاشته می‌شود گفته می‌شود.

Intrusion Points

نقاطی که یک نفوذگر بتواند به اطلاعات با ارزش دست پیدا کند.

Internal Access Point

به سیستم‌هایی گویند که در اتاق یا در شبکه داخلی مستقرند و هیچ امنیتی (LocalSecurity) روی آنها تنظیم نشده باشد و احتمال حمله به آنها وجود دارد.

External Access Point

تجهیزاتی که ما را به شبکه خارجی مانند اینترنت متصل می‌کنند یا Applicationهایی که از طریق اینترنت کار می‌کنند و احتمال حمله به آنها وجود دارد.

Attack

هر چیزی که مکانیزم امنیت سیستم شما را دور زده و باعث تخریب گردد را حمله یا Attack گویند. از انواع حمله می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

DoS
DDoS
Spoofing (مانند MAC Spoofing، IP Spoofing و Web Spoofing)
Man-in-the-Middle
Password Guessing

Key

به اطلاعاتی گفته می‌شود که با استفاده از آن بتوان cipher text (متنی که cipher شده) را به plain text تبدیل کرد.(یا برعکس) به عبارت ساده یک متن رمز شده توسط یک Key با الگوریتم مناسب، به متن ساده تبدیل می‌شود.

+ نوشته شده در پنجشنبه چهاردهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 12:49 توسط deo |

نظریه رایانش پذیری

نظریه محاسبه‌پذیری از مباحث پایه در علوم رایانه است که به بررسی محاسبه‌پذیر و محاسبه‌ناپذیر بودن عملیات با استفاده از ابزارهای کلاسیک نظیر ماشین ثبات، ماشین تورینگ و توابع بازگشتی می‌پردازد. بدون شک یکی از علل پیشرفت این نظریه تلاش محققین برای اثبات پاسخ منفی به مساله دهم هیلبرت بوده‌است.

دانشمندان کامپیوتر، برای مطالعهٔ جدی نظریه رایانش(شماره پذیری)، با یک مفهوم انتزاعی ریاضی برای کامپیوترها که مدل رایانش گفته می‌شود، سر و کار دارند. قاعده سازی‌های متعددی، برای استفاده وجود دارد، اما ماشین تورینگ(Turing) در این میان بیش‌ترین کاربرد را دارد. یک ماشین تورینگ را می‌توان هم ارز یک کامپیتر شخصی رومیزی، در نظر گرفت، با حافظهٔ بی نهایت که به این حافظه از طریق تعداد زیادی تکه‌های کوچک گسسته، دسترسی دارد. دانشمندان کامپیوتر به دلیل قابلیت سادگی قاعده سازی، تحلیل و آنالیز و قابل استفاده برای اثبات نتایج از این ماشین استفاده می‌کنند. چون حافظهٔ بی نهایت یک نسبت غیر مادی در نظر گرفته می‌شود، برای هر مسئله که با استفاده از ماشین ترینگ حل می‌شود، حافظهٔ مورد استفاده همواره محدود است. در نتیجه هر مسئله را می‌توان با استفاده از یک کامپیوتر شخصی که حافظهٔ مورد نیاز بر روی آن نصب شده، از طریق یک ماشین تورینگ حل کرد.

نظریه شماره پذیری

نظریه شماره پذیری، با این سوال که آیا یک مسئله قابل حل بر روی یک کامپیوتر هست یا نه، سر و کار دارد. مسئلهٔ halting یکی از مهم‌ترین نتایج در نظریهٔ شماره پذیری است. این مسئله به آسانی قابل قاعده سازی و به سختی با استفاده از ماشین ترینگ قابل حل است! بخش عمده‌ای از نظریهٔ شماره پذیری، بر نتیجهٔ مسئلهٔ halting، استوار است. نظریهٔ شماره پذیری، با یک شاخه از منطق ریاضی به نام نظریهٔ بازگشت، در ارتباط تنگاتنگ است. بسیاری از ریاضی دانان و نظریه پردازان شمارش پذیری، که دربارهٔ نظریهٔ بازگشت به مطالعه می‌پردازند، این نظریه را در آخر به نظریهٔ شماره پذیری ارجاع می‌دهند.

نظریه پیچیدگی

نظریه پیچیدگی، نه تنها با این موضوع که آیا مسئلهٔ مطرح شده بر روی کامپیوتر قابل حل هست یا نه؛ بلکه با این موضوع که چقدر مسئله می‌تواند به صورت کارآمد حل شود، در ارتباط است. دو جنبهٔ مهم در این نظریه مطرح است: پیچیدگی زمان و پیچیدگی فضا. یعنی برای حل مسئله چند پله باید طی شود و به چقدر حافظه نیاز است. برای تحلیل این که یک الگوریتم به چقدر زمان و حافظه نیاز دارد، دانشمندان کامپیوتر زمان و حافظه‌ای را که برای حل یک مسئله مورد نیاز است، به عنوان یک تابع از سایز ورودی مسئله بیان می‌کنند. برای مثال پیدا کردن یک عدد خاص در یک لیست بلند از اعداد دشوارتر می‌شود هنگامی که تعداد اعداد افزایش می‌یابد.. اگر n عدد در لیست وجود داشته باشد که مرتب نشده باشند و یا اندیس گذاری نشده باشند در هر صورت ما باید همهٔ اعداد را برای پیدا کردن عدد خاص، چک کنیم. بنابراین در این مثال برای حل مسئلهٔ مطرح شده، کامپیوتر باید مراحلی را طی کند که تعداد آن‌ها به صورت خطی تغییر می‌کند.

حساب لامبدا

یک محاسبه یک

منطق ترکیبیاتی

مفهومی است که شباهت‌های زیادی به حساب لامبدا دارد. اما تفاوت‌های عمده‌ای نیز دارند. منطق ترکیبیاتی با تلاش‌های بسیار پیشرفت زیادی در زمینه‌های زیر داشته‌است:

کشف طبیعت تناقض‌ها

اقتصادی تر کردن شالودهٔ ریاضیات

کاهش نشان گذاری متغیرها

توابع بازگشتی مو

یک محاسبه به صورت یک تابع بازگشتی مو است، اگر دنبالهٔ تعریف شدهٔ آن، متغیرهای ورودی و یک دنبالهٔ توابع بازگشتی همراه با ورودی‌ها و خروجی‌های آن مشخص باشند. بنابراین اگر در تعریف دنبالهٔ بازگشتی تابع $f(x)$ ، توابع $g(x)$ و $h(x,y)$ وجود داشته باشند، در نتیجه عباراتی به شکل g(۵)=۷ و یا h(۳٬۲)=۱۰ ممکن است ظاهر شوند. در این گونه توابع، اگر آخرین عبارت مقدار تابع بازگشتی ایی که به ورودی‌ها داده شده است؛ را بدهد، محاسبات پایان می‌پذیرند. ؛ الگوریتم مارکف یک سیستم رشته‌ای با قابلیت دوباره نویسی، که از قوانین گرامری شکلی برای به کار انداختن رشته‌ها استفاده می‌کند.

ماشین رجیستر(Register Machine)

یک کامپیوتر ایده آل تئوریک است! متغیرهای بیشتری وجود دارد. در بسیاری از آن‌ها، هر رجیستر می‌تواند یک عدد طبیعی با سایز نامحدود، را نگهداری کند، دستور العمل‌ها ساده هستند؛ برای مثال فقط کاستن پله‌ای و نمو وجود دارد. کمبود ذخیرهٔ خارجی که در ماشین‌های تورینگ دیده می‌شود، می‌تواند با جایگذاری نقشش با استفاده از روش‌های عددی Godel درک شود. این حقیقت که هر رجیستر قابلیت نگهداری یک عدد طبیعی را دارد، امکان نمایش یک چیز پیچیده تر (مثلاً یک دنباله یا یک ماتریس)، را فراهم می‌سازد.

P

همانند ماشین‌های تورینگ، این روش نیز از نشان‌های بی نهایت (بدون دسترسی تصادفی) استفاده می‌کند. هم چنین تعداد دستورالعمل‌ها کمتر است. اما این دستورالعل‌ها بسیار متفاوت هستند، بنابراین بر خلاف ماشین تورینگ، P" نیازی به نگه داشتن یک حالت مشخص نیست، چرا که تمام عملیات حافظه گونه فقط با استفاده از نوار تامین می‌شود. به جای دوباره نویسی نشان جاری، می‌تواند یک نمو حسابی پیمانه‌ای را انجام دهد.

+ نوشته شده در پنجشنبه چهاردهم آذر ۱۳۹۲ ساعت 12:47 توسط deo |

مطالب جدیدتر مطالب قدیمی‌تر

www.deo.blogfa.com

انتگرال نامعین

تعریف:

انتگرال معین

تابع انتگرال‌پذیر

تعبیر هندسی انتگرال

مثال

انتگرال گیری

مهم‌ترین تعاریف در انتگرال

محاسبه انتگرال

تقریب انتگرالهای معین

کاربرد

مثال

نگارش

مثال‌ها

عملیات‌های دوجمله‌ای‌های ساده

الگوریتم بدیهی ضرب چندجمله ای

الگوریتم استراسن ( الگوریتم کاراتسوبا) برای ضرب چندجمله ای ها

نکات پیاده سازی

تعمیم

ضرب چندجمله ای با استفاده از تبدیل فوریه

تعریف فرم فوریه

ویژگی‌های فرم فوریه

ضرب چندجمله ای با تبدیل سریع فوریه

ضرب چندجمله ای‌های تنک

تعریف و نمایش

الگوریتم‌های چندجمله ای‌های تنک

انواع ساختارهای جبری

تکواره‌ها

الگوریتم بدیهی برای محاسبه مقدار چندجمله‌ای در نقطه مورد نظر

تحلیل

ایده بهینه کردن این الگوریتم

روش هورنر

روند اجرای الگوریتم هورنر

تحلیل

رابطهٔ بازگشتی خطی همگن با ضرایب ثابت

مثال:اعداد فیبوناچی

حل کردن توسط جبر خطی

حل کردن به صورت عمومی

تعریف و ویژگی‌ها

ساختار جبر لی

جبر لی ماتریسی

تعاریف رسمی

کاربردها

مقدمه

توابع چندجمله‌ای

معادلات چندجمله‌ای

خواص پایه

دیدگاه ها

مقدمه

ویژه‌مقدار

فضاهای برداری

آشنایی

مکانیک کوانتومی و فیزیک کلاسیک

کوشش برای نظریهٔ وحدت‌یافته

مکانیک کوانتومی و زیست‌شناسی

مکانیک نیوتنی

مکانیک گالیله‌ای

دکارت و مفهوم حرکت

پیش زمینه‌های تاریخ

جسم و امتداد

حرکت

مدت و زمان

آیزاک نیوتن

قانون یکم

قانون دوم

قانون سوم

خدمات نیوتن

پیش زمینه تاریخی قانون جهانی گرانش نیوتن

قانون اول نیوتن

قانون دوم نیوتن

قانون سوم نیوتن

دستگاه مقایسه‌ای مطلق اتر

فضا و زمان نیوتن

مشکلات قانون گرانش

معادلات حاکم

حل معادلات مکانیک سیالات

مکانیک کلاسیک

شاخه‌ها

مکانیک کوانتومی